고려대편입수학30 [벡터미적분학] 그린 정리 (Green's Theorem) 그린 정리는 선적분에서 약간 업그레이드된 버전입니다. 우리는 조각적으로 매끄러운 곡선 C라는 이름을 교재에서 한번쯤은 본적이 있을겁니다. 이 경우 우리는 곡선 C를 C1,C2,C3,C4,....의 합집합으로 표현하고 각각 구간을 나눠 일일이 계산해주곤 했습니다. 다만 특수한 조건의 경우에서는 우리가 이렇게 개고생할 필요가 없습니다. 그게 바로 그린정리가 성립할 조건입니다. 봅시다. 1) 단순폐곡선이여야 한다. 2) 양의 방향(반시계 방향)이여야 한다. 3) 연속된 1계 편도함수를 가져야 한다. 위 조건을 만족할 시에 우리는 다음과 같은 공식이 성립함을 알게 됩니다. 그린 정리에 대한 증명은 스튜어트 책에 나와있으나 그것은 D가 단순연결영역일때를 가정하고 하는 증명이기 때문에 사실 전체에 대한 증명이 아닙.. 2019. 11. 21. [벡터미적분학] 포텐셜 함수 & 보존적 벡터장 증명 오랜만에 벡터미적분학 쪽 글을 씁니다. 이전 시간에 다룬 선적분의 기본정리와 경로에 독립성의 연장선상입니다. 잠깐 복습 좀 해봅시다. 선적분의 기본정리는 함수 f가 t가 [a,b]의 범위 내에서 벡터함수로 정의됩니다. 그리고 주어진 매끄러운 곡선 C에서 함수 f가 기울기 벡터를 갖고 연속임과 동시에 미분가능한 2,3변수함수면 미적분 기본정리 1번정리같은 꼴로 나온다는 이론이였습니다. 그리고 경로에 독립은 경로와 무관하게 단순폐곡선 C에서의 선적분 값은 0값을 가진다는 말이였습니다. 보존적 벡터장의 정의는 경로에 독립이라는 전제조건 하에 주어진 벡터장 F가 연속인 1계 편도함수를 가지고 P,Q의 편미분값이 동일한 경우를 말합니다. 이를 간단히 정리하겠습니다. * 정의 제가 잘못적은 것일수도 있으니 교재 한.. 2019. 11. 21. [입실론델타] 스퀴즈 정리(Squeeze Theorem) (=조임 정리)를 입실론 델타 논법으로 증명하기 스퀴즈 정리는 조임 정리라고도 불리며 우리가 이를 일변수함수 파트에서 공부할 때, 세 함수가 주어지고 1 2019. 11. 21. [입실론델타] 극한 곱의 법칙과 상수배 법칙 & 차의 법칙 증명 이전에는 합의 법칙 증명과 삼각부등식에 대해 간략한 증명을 했었습니다. 이번에는 조금 더 까다로운 곱의 법칙을 증명하고자 합니다. 상수배와 차의 법칙은 짧으니 곱법칙 부터 얼른 하겠습니다. 많이 헷갈리실 겁니다. 사실 곱의 법칙 증명은 저도 그냥 외웠거든요. 애초에 우리가 시험장에 들어가면 임의의 입실론을 잡을수 있긴하겠지만 위에서 케이스 분류를 해준것처럼 가장 이상적인 입실론델타의 설정은 바로바로 생각하기가 어렵습니다. 그래서 왠만하면 입델문제 증명은 교재에 나온 그대로 서술하는게 좋습니다. 가장 최적의 방법을 제시해주기 때문입니다. 이부분은 그냥 냅다 제가 써놓기만 하고 설명을 못한게 죄송스럽지만 입델에서 나오는 6~7가지 증명법은 외워두면 좋습니다. 실제로 17년 기출에 그대로 출제된 적이 있었습니.. 2019. 11. 21. [급수] 테일러의 나머지 정리 (=테일러 부등식) Taylor's inequality 급수파트의 마지막 단원입니다. 테일러의 나머지 정리입니다. 이는 연세대학교 2016학년도 편입수학 2번에 증명문제로 출제되었었는데요. 역대 증명문제 중 가장 어려운 문제로 나온 파트였습니다. 사실 증명 자체만 묻는 문제였다면 알고만 계셨으면 쉬운 문제였습니다. 다만, 단순히 책에 나온 증명을 묻는게 아니라 '롤의 정리' ,'평균값 정리'를 사용해서 증명하라고 했었기 때문에 이 문제는 거의 백지로 낸 수험생들이 굉장히 많았습니다. 감히 예상하지만 이런 수준의 문제가 다시 나온다면 마찬가지로 그 문제를 제외하고 푸셔도 될겁니다... 만점이 100점이 아니라 생각하세요 ㅋㅋ ㅠㅠㅠ 일단 우리는 테일러 나머지정리의 일반적인 증명을 시도해봅시다. 2019. 11. 20. [급수] 매클로린 급수(Maclaurin's series)& 테일러 급수(Taylor's series) & 이항급수 (Binomial series) 두 급수는 비슷하지만 집합의 개념으로 설명하자면 매클로린 급수는 테일러 급수의 부분집합입니다. 그 이유가 매클로린 급수는 테일러 급수의 특정 경우에서의 급수이기 때문인데요. 매클로린 급수는 다음과 같은 정의를 띱니다. 함수 f의 위첨자로 쓰인 (n)은 미분의 횟수를 의미합니다. 위문제에 대한 적절한 예시를 하나 들어보겠습니다. f(x)=sinx일 경우 이 함수를 급수로 어떻게 바꾸는지 보도록 합시다. 매클로린 급수는 위에 삼각함수를 포함하여 총 7개의 경우로 나뉩니다. 물론 7개만 있다는게 아니고 가장 일반적인 경우라 할 수 있습니다. 또한, 매클로린 급수는 멱급수에서 했던 것처럼 항별적분, 항별미분이 가능하며 비 판정법을 통해 수렴반경과 수렴구간을 구하는 것도 가능합니다. 위에 제가 보여드린 sinx의.. 2019. 11. 20. 이전 1 2 3 4 5 다음
