[급수] 매클로린 급수(Maclaurin's series)& 테일러 급수(Taylor's series) & 이항급수 (Binomial series)

두 급수는 비슷하지만 집합의 개념으로 설명하자면 매클로린 급수는 테일러 급수의 부분집합입니다. 그 이유가 매클로린 급수는 테일러 급수의 특정 경우에서의 급수이기 때문인데요. 매클로린 급수는 다음과 같은 정의를 띱니다.

 

함수 f의 위첨자로 쓰인 (n)은 미분의 횟수를 의미합니다. 위문제에 대한 적절한 예시를 하나 들어보겠습니다.

f(x)=sinx일 경우 이 함수를 급수로 어떻게 바꾸는지 보도록 합시다.

매클로린 급수는 위에 삼각함수를 포함하여 총 7개의 경우로 나뉩니다. 물론 7개만 있다는게 아니고 가장 일반적인 경우라 할 수 있습니다. 또한, 매클로린 급수는 멱급수에서 했던 것처럼 항별적분, 항별미분이 가능하며 비 판정법을 통해 수렴반경과 수렴구간을 구하는 것도 가능합니다. 위에 제가 보여드린 sinx의 매클로린 급수에 비 판정법을 적용하면 여러분들이 수렴구간과 수렴반경을 구할 수 있을겁니다. 그 부분은 제 블로그에 있는 비판정법 포스팅을 보고 따라해보시면 됩니다.

* 교재를 참고하지 않고 작성한거라 교재에 나온 것과 다를 수 있습니다. 예를 들면 n=1이 아니라 n=0으로 둘 때라든가..??  어쨌든 위 7개 알고계시면 매클로린 급수는 다 풀어 낼 수 있습니다. 여러분들이 주의하셔야할 것은 7번입니다. 7번이 제일 까다로운 경우인데 저것을 '이항급수'라고 합니다. 위에 쓴 대로 푸시면 되는데 계산이 복잡해가지고 실수하기 좋은 유형입니다. 그만큼 출제확률도 7개 중에서 상당히 높은 편입니다. 이항급수를 푸실 때 중요한 것은 앞에 반드시 숫자가 '1' 여야 한다는 것입니다. 1번 예시도 마찬가지입니다. 숫자가 '1'로 맞춰줘야 편합니다. 예를 들어서 1/2+x라 하면요. 이를 2[1/(1+x/2)]로 해줘서 풀라 이겁니다.

 

마지막으로 테일러 급수입니다. 테일러 급수의 일반적인 유형은 이러합니다.

테일러 급수는 흔히 테일러의 N차 다항식으로도 불립니다. 그래서 T_n(x) 이런 형태로 표기하기도 합니다.