그린 정리는 선적분에서 약간 업그레이드된 버전입니다. 우리는 조각적으로 매끄러운 곡선 C라는 이름을 교재에서 한번쯤은 본적이 있을겁니다. 이 경우 우리는 곡선 C를 C1,C2,C3,C4,....의 합집합으로 표현하고 각각 구간을 나눠 일일이 계산해주곤 했습니다. 다만 특수한 조건의 경우에서는 우리가 이렇게 개고생할 필요가 없습니다. 그게 바로 그린정리가 성립할 조건입니다. 봅시다.
1) 단순폐곡선이여야 한다.
2) 양의 방향(반시계 방향)이여야 한다.
3) 연속된 1계 편도함수를 가져야 한다.
위 조건을 만족할 시에 우리는 다음과 같은 공식이 성립함을 알게 됩니다.
그린 정리에 대한 증명은 스튜어트 책에 나와있으나 그것은 D가 단순연결영역일때를 가정하고 하는 증명이기 때문에 사실 전체에 대한 증명이 아닙니다. 그저 일부 특수 경우일때에 대한 증명이라 편입시험에서 그린정리를 증명하라는 문제가 나오진 않을겁니다.
따라서, 증명은 생략합니다. 여러분들이 기억하실 것은 위 3조건입니다. 그리고 Tip을 드리자면 저렇게 폐곡선 C에 대한 적분 기호 표시가 나오면 그린정리를 사용해도 된다는 뜻으로 받아들이셔도 됩니다.
그렇다면 3조건에 대한 간략한 설명을 하고 마치도록 하겠습니다.
먼저 1번 조건입니다. 단순폐곡선이 무엇인가? - 단순하다 라는 뜻은 시점 A에서 종점 B까지 연결된 선이 주어졌다고 할 때, '교차'하지 않는 선이라는 것을 의미합니다. 즉, 숫자 '8' 처럼 교차하는 지점이 없음을 의미합니다. '0' 처럼요.
그러면 폐곡선은 뭔가요? 폐곡선은 닫혀있다는 의미 그대로 시점과 종점이 같은 곡선을 의미합니다. 따라서 단순폐곡선은 숫자 '0'같은 곡선임을 의미합니다.
2번 조건입니다. 양의 방향이 뭔가요? 제가 괄호에 반시계 방향이라고 표시했습니다. 좀 더 설명을 드리자면 경로를 따라 움직일 때, 왼쪽에 영역 D가 존재한다면 양의 방향으로 움직이고 있다고 표현합니다. 다시 한번 숫자'0'을 예시로 들겠습니다. 0이라는 단순폐곡선 상에서 여러분이 반시계 방향으로 돈다고 합시다. 그렇다면 여러분의 왼쪽에는 '0'에 의해 유계된 영역인 D가 정의됩니다.
3번 조건입니다. 연속인 1계편도함수는 그냥 그 의미 그대로입니다. 이거는 왠만하면 다 들어맞는 조건으로 깔고가니까 여러분들은 1,2번만 고려해주셔도 됩니다.
오랜만에 벡터미적분학 쪽 글을 씁니다. 이전 시간에 다룬 선적분의 기본정리와 경로에 독립성의 연장선상입니다.
잠깐 복습 좀 해봅시다. 선적분의 기본정리는 함수 f가 t가 [a,b]의 범위 내에서 벡터함수로 정의됩니다. 그리고 주어진 매끄러운 곡선 C에서 함수 f가 기울기 벡터를 갖고 연속임과 동시에 미분가능한 2,3변수함수면 미적분 기본정리 1번정리같은 꼴로 나온다는 이론이였습니다.
그리고 경로에 독립은 경로와 무관하게 단순폐곡선 C에서의 선적분 값은 0값을 가진다는 말이였습니다.
보존적 벡터장의 정의는 경로에 독립이라는 전제조건 하에 주어진 벡터장 F가 연속인 1계 편도함수를 가지고 P,Q의 편미분값이 동일한 경우를 말합니다. 이를 간단히 정리하겠습니다.
* 정의 제가 잘못적은 것일수도 있으니 교재 한번 참고하시길 바랍니다. 필자는 티스토리 블로그에 쓰는 글들은 교재를 거의 참고하지 않고 씁니다 ㅠ 확실히 아는 것은 별말은 안하지만 이번 내용은 정의가 조금 기억이 안나네요!...
아무튼 위 정의를 증명해보도록 하겠습니다.
자, 이렇게 증명이 완료되었습니다. 보존적 벡터장이면 우리는 굳이 어렵게 매개변수화 시켜서 선적분을 구할 필요가 없게 됩니다. 지금까지 했던 총 3개의 증명을 통해 우리는 새로운 방법을 알았습니다. 포텐셜 함수 문제를 한번 풀어보도록 하겠습니다.
만약 이걸 그냥 선적분풀 때 매개변수화를 시키고자하면 Integral [F(r(t))*r'(t) dt] 이 난리를 쳐야할 겁니다. 물론 풀수는 있습니다. 다만 그 계산이 굉장히 더러워집니다. 그럴 때 여러분들은 주어진 벡터장이 '보존적'인지 아닌지를 먼저 판단해야합니다. 위 벡터장이 보존적인지 보기 위해서 P를 y에대해 편미분한 값과 Q를 x에대해 편미분한 값이 동일한지
보도록 합시다.
1) 먼저 P의 경우 y에 대해 편미분을 하면 2x가 나옵니다.
그리고 Q의 경우 x에 대해 편미분을 하면 역시 2x가 나옵니다. 따라서, 위 벡터장은 보존적입니다.
2) 보존임을 확인했다면 P는 델f에서 x에 대해 편미분을 한 f_x값과 동일함을 알 수 있습니다. 따라서, 역으로 편적분을 시도해보겠습니다. f_x을 편적분하면 3x+yx^2가 나옵니다. 이 때, 여기서 끝이 아니라 '적분상수'를 붙여줘야합니다.
그리고 그 적분상수는 g(y)가 됩니다. 왜냐? 상수일수도 있지만 y에 대한 함수일 경우도 고려해야죠.
만약 f가 3x+yx^2+y라고 합시다. 여기서 x에 대한 편미분을 하면 3+2xy가 나옵니다. 함수 f가 3x+yx^2+1일 경우도
마찬가지입니다. 이해가시죠?
3) f = 3x+yx^2+g(y)라 합시다. 이를 이제 y에 대해 편미분을 하겠습니다. 그러면 x^2+g'(y)가 됩니다. 이를 위에 Q와 비교해봅시다. g'(y)=-3y^2여야 함을 알 수 있습니다. 따라서, 우리는 f = 3x+yx^2-y^3+C임을 구했습니다.
이게 포텐셜 함수를 구하는 방법입니다. 주어진 문제에서는 포텐셜 함수까지만 찾으라 했으나, 선적분 값을 구하라 한다면 우리가 찾은 포텐셜 함수 f에서 '선적분의 기본정리'를 이용하여 그 값을 구해주면 끝입니다. 이거 반드시 기억하시길 바랍니다. 편입시험뿐만 아니라 중간,기말고사에서 벡터미적분학이 나오면 그린정리,스톡스정리,발산정리와 함께 더불어 가장 중요한 핵심이라 말씀드릴수 있습니다.
스퀴즈 정리는 조임 정리라고도 불리며 우리가 이를 일변수함수 파트에서 공부할 때, 세 함수가 주어지고 1<2<3번함수 식으로 부등식을 가질 때, 1,3함수의 극한값이 동일하면 2번함수도 극한값이 동일하다고 직관적으로 받아들이곤 했습니다. 여러분도 잘 알다시피 이러한 정리는 급수파트에서 증명하거나 그 이외에도 증명을 할 때 요긴하게 쓰이는 증명법이곤 했는데요. 오늘은 이 스퀴즈 정리를 다른 방법으로 정의해보고자 합니다. 바로 입실론 델타논법으로 말이죠.
이전에는 합의 법칙 증명과 삼각부등식에 대해 간략한 증명을 했었습니다. 이번에는 조금 더 까다로운 곱의 법칙을 증명하고자 합니다. 상수배와 차의 법칙은 짧으니 곱법칙 부터 얼른 하겠습니다.
많이 헷갈리실 겁니다. 사실 곱의 법칙 증명은 저도 그냥 외웠거든요. 애초에 우리가 시험장에 들어가면 임의의 입실론을 잡을수 있긴하겠지만 위에서 케이스 분류를 해준것처럼 가장 이상적인 입실론델타의 설정은 바로바로 생각하기가 어렵습니다. 그래서 왠만하면 입델문제 증명은 교재에 나온 그대로 서술하는게 좋습니다. 가장 최적의 방법을 제시해주기 때문입니다. 이부분은 그냥 냅다 제가 써놓기만 하고 설명을 못한게 죄송스럽지만 입델에서 나오는 6~7가지 증명법은 외워두면 좋습니다. 실제로 17년 기출에 그대로 출제된 적이 있었습니다. 많이 어려운 유형이였으나 외우고 가신분들은 쉽게 써내려갔거든요.
다음은 상수배 법칙과 차의 법칙입니다.
포인트는 g(x)=c입니다. 대체로 증명을 할 때는 입델뿐만 아니라 포인트 몇가지 정도는 외우고 가시면 좋습니다. 힌트를 알고 있다면 증명해가는것은 그래도 도움이 되니까요. 마지막으로 차의 법칙입니다. 차의 법칙은 상수배법칙을 이용합니다.
급수파트의 마지막 단원입니다. 테일러의 나머지 정리입니다. 이는 연세대학교 2016학년도 편입수학 2번에 증명문제로 출제되었었는데요. 역대 증명문제 중 가장 어려운 문제로 나온 파트였습니다. 사실 증명 자체만 묻는 문제였다면 알고만 계셨으면 쉬운 문제였습니다. 다만, 단순히 책에 나온 증명을 묻는게 아니라 '롤의 정리' ,'평균값 정리'를 사용해서 증명하라고 했었기 때문에 이 문제는 거의 백지로 낸 수험생들이 굉장히 많았습니다.
감히 예상하지만 이런 수준의 문제가 다시 나온다면 마찬가지로 그 문제를 제외하고 푸셔도 될겁니다... 만점이 100점이 아니라 생각하세요 ㅋㅋ ㅠㅠㅠ
