대학수학38 [다변수함수] 클레로 정리 증명 (Clairaut's theorem) 클레로 정리 증명입니다. 교재에 나와있는 유명한 증명문제임에도 불구하고 굉장히 많은 학생분들이 틀렸던 문제입니다. 개인적으로 증명문제 나가리되면 남들과 똑같아진다고 생각되기 때문에 실수없이 푸시길 바랍니다. 연세대에서는 출제하는 계산문제는 다들 잘합니다. 증명에서 변별력 가르기 때문에 갈수록 증명문제 vs 계산문제는 거의 1:1비율로 출제될 것입니다. 클레로 정리의 정의는 다음과 같습니다. - f가 영역 D 위에서 점(a,b)를 포함하는 함수라고 하자. 이 때, 함수 f가 연속인 2계 편도함수를 가진다면 f_xy (a,b) =f_yx (a,b)를 만족한다. 이제 이를 증명해보겠습니다. 증명문제는 이해가 안되면 진짜 여러번 반복해야합니다. 스튜어트에 나온 증명을 다 알고가신다면 솔직히 수학은 반복만 하시고.. 2019. 10. 29. [다변수함수] 편도함수의 정의 (Partial derivative) 편도함수는 독립변수가 2개 이상인 다변수함수에서의 도함수를 의미합니다. 독립변수가 2개인 경우로 두고 생각해보겠습니다. 이 때, 변수 x와 y에 대응하는 종속변수 z를 나타내는 표현으로는 z=f(x,y)이 있습니다. 그렇다면 우리가 일변수함수에서 y=f(x)를 미분시키면 dy/dx=f'(x)가 됬듯이 이변수함수에서도 똑같습니다. 단지 변수가 하나가 더 늘어나서 dz/dx , dz/dy 이렇게 두개가 된 것이죠. 이를 도함수로 표현하면 다음과 같습니다. 비슷하죠? 우리는 이제 저렇게 함수 f에다가 아래첨자로 x라고 쓴 것을 'x에 대해 편미분을 했다.' 그리고 y라고 쓴 것을 'y에 대해 편미분을 했다.' 라고 말하면 됩니다. 2019. 10. 29. [급수] 비판정법 증명 (Ratio Test) & 절대수렴과 조건부수렴 비판정법은 이 뒤에 나올 멱급수를 공부할 때 유용하게 쓰이는 방법입니다. 그렇기 때문에 비판정법을 이용하여 수렴&발산을 판정하는 것보단 멱급수와 함께 사용되는 경우가 많은데요. 그래도 증명법을 알고 가도록 합시다. 절댓값 기호가 조금 이상해보이죠? 갑자기 한글 수식입력을 하면 이상한 문자가 나와서 한글 'ㅣ' 이거로 써넣었습니다 흑흑흑흑 일단, 위 비판정법에서 중요한 포인트는 절댓값입니다. 만약 절댓값을 씌우기 전에 그 수열이 수렴을 했습니다. 근데 그 수열에다 이번엔 절댓값을 씌웠습니다. 그 때도 똑같이 수렴하면 그 수열은 '절대수렴'한다고 말할 수 있습니다. 반대로, 절댓값 씌우기 전에 어떤 수열이 발산한다고 합시다. 근데 그 수열에다 절댓값을 씌우고 다시 판정해봤더니 수렴을 합니다. 이 경우를 '조.. 2019. 10. 28. [급수] 교대급수 판정법 (Alternating Series Test) 증명 교대급수는 양수, 음수가 번갈아가면서 나오는 진동함수의 그래프상태를 의미합니다. 그리고 그 진동함수는 마치 용수철의 단조화운동과 같은 모습인데 '감쇠 운동' 으로 비유하면 적절할 것 같군요. 이게 무슨 말이냐구요? 결국 극한값이 존재하는 방향으로 간다. 즉, 수렴한다는 의미입니다. 이것을 교대급수 판정법이라 합니다. 정의를 한번 보겠습니다. 위 판정법에 대한 증명 역시 당연히 해드려야겠죠? 작년 기출에 적분판정법과 p급수 판정법에 대한 증명문제가 출제되었었습니다. 따라서, 올해에도 급수 파트 쪽에 증명문제가 나온다면 저는 교대급수 증명문제와 그에 따른 합의 추정문제가 세트로 나오지 않을까라는 생각도 듭니다. 급수 쪽에서 안나올 수가 없으니 증명법들 잘 익혀가시길 바랍니다. 2019. 10. 28. [급수] 극한비교판정법 (Limit Comparison Test) 증명 극한비교판정법은 이전에 포스팅했던 비교판정법이 통하지 않을 때 쓰는 방법입니다. 비교판정법의 정의를 잠깐 적어보겠습니다. 1) 두 양항수열 a,b의 부등식이 a 2019. 10. 28. [급수] 비교판정법 (Comparison Test) 증명 먼저 비교판정법의 정의부터 봅시다. 비교판정법에서는 약간의 수학적 감각이 필요합니다. 왜냐하면 문제를 풀 때, 급수 하나 띡 주고 이거 비교판정법으로 수렴인지 발산인지 판정해봐~ 이러면요. 우리는 급수 an만 알고 있지, bn은 모른단 말입니다. 이 때, bn을 우리가 적당한 녀석을 찾아서 수렴하는지 발산하는지 판정해줘야합니다. 그래서 처음에는 비교판정법을 조금 어려워 하는 분들이 있습니다. 제가 드릴 수 있는 말은 연습이 답이다라는 것 뿐이네요. 일단 증명 시작하겠습니다. 보시면 급수의 수렴성을 증명할 때, 항상 쓰이는게 단조수렴정리죠? 단조수렴정리가 포인트인데 2005년에 이 단조수렴정리를 증명하라는 문제가 출제된 적이 있었습니다. 사실 단조수렴정리는 미적분학에 나오긴 하나 해석학내용이라고 들었습니다.. 2019. 10. 28. 이전 1 2 3 4 5 6 7 다음
