Crush on Study

- 만유인력은 질량을 가진 두 물체 사이가 가지는 힘을 의미합니다. 

이러한 꼴을 가지고 있는데, 전자기학에서 나오는 전기장과 중력장은 거의 유사한 의미를 가집니다. 

아래 표로 제가 간단히 비교해보겠습니다. 

각각 대응되는게 느껴지시죠? 전기장에서는 질량대신 전하량 q를 쓰고,  중력장에서는 전하량 q 대신 질량 m을 씁니다.

V가 전기장에서는 퍼텐셜을 의미한다면 Φ가 중력장에서 퍼텐셜을 의미합니다. 

퍼텐셜 에너지라는 것은 각각의 필드 내에서 퍼텐셜을 가지고 있을 때, 시험전하 혹은 시험질량에 대한 영향력을 의미합니다. 

우리가 배우는 물리에서는 보존장이 크게 3가지로 있습니다. 중력장, 전기장 그리고 용수철 진자운동입니다. 

그렇기 때문에 Oscillation이라고 따로 학문이 존재하는데 이는 광학을 배울 때도 많이 중요한 개념으로 작용합니다. 

오늘부터 포스팅할 오실레이션은 먼저 1차원에서부터 시작하도록 하겠습니다. 

▶ 훅의 법칙

훅의 법칙은 1차원으로 표현했을 때, F(x)=-kx라는 공식을 가집니다. 여기서 x는 델타를 붙여주면 좀 더 정확하구요. 

Δx는 거리의 변화량을 뜻하고 k는 용수철 상수라고 알려져있습니다. 이 k가 정확히 어떻게 나왔는지 한번 보도록 하겠습니다. 

용수철 운동에서의 평형점은 원점이라고 가정하겠습니다. 그러면 1차원에서는 x=0인 곳이 평형점이 되겠죠?

훅의 법칙에서 음수가 붙은 이유는 우리가 가한 힘의 방향과 항상 반대방향으로 작용하려는 '복원력' 때문입니다. 

이제 우리는 테일러 급수를 통해 F(x)를 이렇게 표현해보겠습니다.

 만약 x=0 (평형점) 이라면 어떠한 복원력도 존재하지 않을테니 F_0은 0일 것입니다. 따라서 지워주구요. 

작은 입자 내에서의 변위라고 가정한다면 사실상 2계미분부터는 그 값이 매우 작을 것이기 때문에 0으로 근사시켜도 무방합니다. 그래서 남은게 결국 F(x)=x(dF/dx)_0인데요.  그러면 용수철 상수 k가 1계미분의 음수값이 되겠죠? 

사실 훅의 법칙은 매우 간단한 원리고, 자연계에서는 매우 복잡하고 어렵게 표현합니다. 선형 진동이 아닐수도 있구요. 그러한 것들은 나중에 다루기로 하고 우리는 일단  제일 쉬운거부터 천천히 가도록 합시다. 

▶ 1차원 조화 단진자

수식 넣을게 많아서 대부분의 설명을 한글파일에 작성했네요. 아무튼 1차원 진동에서의 운동방정식 공식은 저렇게

나오게 됩니다. 근데 진자운동 역시 보존장이므로, 우리는 운동에너지와 퍼텐셜에너지의 합으로 시스템에 있는 

총 에너지의 변화량을 구할 수 있을 것입니다.  그러면 여기서 퍼텐셜에너지를 한번 구해보도록 합시다.

이런 꼴로 나왔습니다. 에너지는 시간에 무관하다고 해석해도 되겠네요. 

오랜만에 고전역학 포스팅하네요! 어쨌든 오늘할 것은 유체의 종단속도에 대한 내용입니다. 

우리가 스카이다이빙을 한다고 생각합시다. 저는 해본적은 없지만 아래로 낙하를 할 때, 우리는 '맞바람'같은 것을 느낄겁니다. 이게 우리가 낙하하면서 공기와 마찰이 일어나면서 느끼는 현상인데요. 이를 유체에 의한 마찰계수 'k'를 이용하여 표현할 수 있습니다. 

▶ 유체의 종단속도

- 일단 마찰력을 고려했을 때의 힘 F는 중력의 힘을 받고 떨어지는 mg의 값과 이것과 반대방향으로 작용하는 힘(마찰력)인 f의 합일 것입니다.  근데 우리가 지표면에서의 마찰은 정지마찰계수 / 운동마찰계수라고 따로 존재하잖아요?

근데 공기 중에서의 마찰은 다른 마찰계수를 씁니다. 그게 아까 위에서 적은 k가 됩니다.  그러면 이제 이 마찰계수를 통해 공기 중에서의 마찰력은 어떤 값을 가지는지 봅시다.

저기서 v의 n승이 뭔가 궁금하실겁니다. 저항속도는 물체의 운동에 따라 비례합니다. 대략적으로 

n=1인 경우는 24m/s의 속도를 가질 경우 / n=2인 경우는 음속(330m/s)에 근접한 상태에서 선택합니다. 

이번 포스팅에서는 이전에 배운 뉴턴의 법칙 중 제 2법칙에 대한 응용을 배워보고자 합니다.  

위 그림을 하나씩 짚어봅시다. 먼저 좌표축을 설정하도록 하겠습니다. O를 원점으로 잡고 P벡터가 x축과 겹쳐진 것이고, 

O에 수직 윗부분을 +y축 방향이라 하겠습니다. 

추가로 w를 봅시다. (초록색 방향벡터)  w의 크기는 mg라고 나왔습니다. 그렇다면 P와 수직한 아랫방향 벡터의 크기는 

wcosΘ가 됩니다.

그러면 P는 자연스레 wsinΘ가 되겠죠? 자, 그러면 어느정도 세팅은 끝났습니다. 여기서 한번 더! 위 모델은 빗면의

마찰력까지도 고려한다고 가정합시다. 

▶ 마찰력

- 마찰력에는 크게 두가지가 있습니다. 정지 마찰력과 운동 마찰력인데요. 정지 마찰력계수는 μs라고하고요.

운동 마찰력계수는 μk라고 합니다. 이 둘의 크기를 비교하자면 정지 마찰력 > 운동 마찰력이 됩니다. 

직관적으로 생각해봅시다. 우리가 아무리 힘을 줘도 꿈쩍도 안한다면 마찰력의 크기가 우리의 힘보다 크다는 말이되겠죠? 그 뜻은 정치마찰력계수가 크다는 말입니다. 적어도 운동마찰력계수보다는요. 

아무튼 돌아와서 정지마찰력의 공식에 대해 논의하자면 f=μs*N이 됩니다. (운동마찰력 역시 동일합니다. 계수만 다르구요!)

여기서 N은 무엇이냐? 수직항력(지면을 누르는 힘에 대한 저항력)을 의미합니다. 수직항력은  뉴턴 3법칙의 원리에서 파생된 개념입니다. 질량이 m인 물체는 중력에 의해 mg라는 크기의 힘을 가집니다. 그리고 이것과 똑같은 크기의 힘이지만 방향은 반대인 힘을 '수직항력' 이라 하는 것입니다. 

다시 돌아와서, 위 빗면 그림에서 물체가 정지된 상태라는 것은 미끄러지는 힘 P와  물체에 적용되는 마찰력의 크기가 동일하다는 의미가 됩니다. 따라서, 아래처럼 정리할 수 있습니다.

< 죄송합니다. 위에 mg뒤에 cos세타 빼먹었네요 ㅠㅠ >

그러면 물체가 미끄러지는 경우는 어떨까요? 일단 y성분은 똑같습니다. 다만 x성분이 달라지겠죠? 아래를 봅시다.

라고 표현할 수 있겠습니다. 

▶ 뉴턴의 법칙

- 뉴턴의 법칙은 여러분들이 잘 아시다시피, 크게 3가지의 법칙으로 구성되어 있습니다. 

1) 알짜힘은 0이다. (관성의 법칙)

이 알짜힘이 0이라는 의미에 대해서 자세히 분석해보도록 합시다. 뉴턴힘 F는 물체의 질량에다 가속도를 곱한 것입니다.

그리고 여러가지 힘들 F1,F2,F3,F4,....... 등등을 다 더했을 때, 나오게 되는 이른바 <진또배기>의 힘을 알짜힘(합력)이라고 합니다.  아무튼 다시 돌아와서! 이 알짜힘이 0이다? 

그러면 생각을 해봅시다. 질량이 0일리가 없잖아요? 질량이 없는 물체가 어디있습니까. 질량이 없다는 것은 그냥 無라는뜻이니까요.

이는 다시 말해서 가속도가 0이다! 라고 볼 수 있겠습니다.  그럼 가속도가 0이라는 것은 무슨 의미일까요?

- 가속도 : 물체의 운동속도에 변화를 주는 존재. 혹은 방향을 바꾸게 하는 존재. 그렇다면 가속도가 0이라는 것은 

운동속도에 아무런 변화도 주지 않는다. 그리고 방향을 바꾸게하지 않는다. 이 정도라고 정의내릴 수 있겠군요.

위 버스 그림은 한국의 이과생이라면 수도 없이 봐왔을 것입니다.  물체는 어느 방향으로 운동하고 있다면 항상 그 방향대로 운동하고 싶어한다. 혹은 정지해있다면 항상 정지해하고 싶다. (둘다 외력이 없는 한)  이것을 통틀어서 '관성' 이라고 부릅니다. 

2) 가속도의 법칙 (F=ma)

2번째 법칙은 알짜힘이 0이 아닌 경우입니다. 

이 경우는 이제 외력이 존재한다고 볼 수 있겠죠? 물체의 운동속도가 변하기도 하고, 운동방향이 바뀌기도 하니까요.

이 가속도의 법칙은 운동량 공식과도 연관이 있습니다. 아래 제가 한글파일로 작성한 것에서 상관관계를 봐봅시다.

3) 작용&반작용의 법칙 (F1=-F2)

3번째 법칙은 두 물체 사이에서 작용하는 힘이라 볼 수 있습니다. 내가 만약 벽을 향해 주먹을 내질렀다고 합시다. 

1N의 크기만큼 힘을 가했으면, 벽 역시 내게 동일한 크기의 힘을 가합니다.  단지 방향만 다릅니다. 

이러한 뉴턴의 법칙들이 적용되는 공간을 '관성 기준계'라고 합니다. 그리고 이 관성 기준계가 절대적인줄만 알았으나 나중에 천체물리학에서  상대성 이론이 등장하면서 우리를 애먹게 합니다ㅎㅎ..

잘 나오지 않는 파트라 비주류 역학이라 했습니다. 그래도 한문제 정도는 꽤 자주 출제되는 것 같아서 정리합니다.

음파(Sound)에는 크게 3가지 요소가 있습니다. 높이, 세기, 맵시입니다. 

1) 높이는 음파에 어떠한 연관이 있는가? - 높이는 곧 진동수와 연관이 있음을 보입니다. 진동수가 클수록 음파의 높이는 높습니다. 즉, 고음이 됩니다.  가청 진동수라는 것이 있는데 이는 인간이 들을 수 있는 소리를 진동수 범위로 표현한 것을 말합니다. 20Hz~20000Hz가 가청진동수 범위고 만약 이 범위를 넘어선만큼 높은 진동수의 음원이 흘러나오면  인간은 이를 듣지 못합니다. 이를 '초음파' 라고 합니다.

2) 세기는 음파에 어떠한 연관이 있는가? - 세기는 진폭과 연관이 있습니다. 진폭이 클수록 큰 소리를 냅니다. 

3) 맵시는 음파에 어떠한 연관이 있는가? - 맵시는 파형과 관련이 있습니다. 맑은 소리를 내는 음원의 그래프는 깨끗한 사인파를 띠지만 탁한 소리는 굉장히 난잡한 그래프를 기록합니다.

이번엔 음파가 가지는 속력을 알아봅시다. 음파의 속력은 Sqrt(부피탄성률/밀도)의 공식을 가집니다. Sqrt는 루트라는 뜻입니다. 부피 탄성률은  (-압력 변화량/부피 변화율) 이라는 공식을 가집니다. 

이번에는 음파의 세기를 구하는 공식입니다. 음파의 세기는 I라고 표현하며 이는 진동수와 진폭의 곱의 제곱에 비례합니다. 이를 방정식으로 표현하면 다음과 같습니다.

p는 압력진폭을 의미합니다. 

자, 이번에는 관악기에 대한 파장 공식입니다. 

배(mode) : 두 파장의 높이가 각각 최대를 이루는 지점을 '배'라고 합니다. 배가 불룩 튀어나온 모양이라고 생각하시면 됩니다. 

저 배의 개수에 따라 우리는 파장을 정하려합니다.

1번째 사진을 보시면 배가 1개일 때, 파장은 λ/2 입니다.

그 파장의 길이를 λ/2=L 이라고 둡시다.  이를 파장에 대한 식으로 표현하면 2L이 됩니다.

2번째 사진을 보시면 배가 2개입니다. 0.5배 1배 0.5배 이렇게 나와있으니까요!  이때의 파장은 λ이고 이 길이를 L이라 둡시다. 

3번째 사진 봅시다. 배가 3개입니다. 파장은 3λ/2네요. 이를 L이라 둡시다. 그러면 이를 파장에 대한 식으로 표현하면 

2L/3이 됩니다. 

4번째도 똑같습니다.  이러한 과정을 통해서 알 수 있는 사실은  '열린 관'에서의 파장 공식은 2L/n이다! 라는 겁니다.

그리고 이 때 n은 정수배로 증가합니다. n=1,2,3... 이렇게요.  이 사실 기억해두세요.

이번에는 다른 상황을 생각해봅시다. '닫힌 관' 에서의 파장입니다.

첫번째 사진 보시면 닫힌 관 때문에 파장이 열린관 때보다 더 짧습니다. λ/4의 파장을 가지고 이를 L이라 합시다.

그러면 파장에 대한 공식은 λ=4L 가 됩니다.

두 번째 사진 역시 똑같습니다. 3λ/4의 파장을 가지고 이를 L이라 합시다. 그러면 파장에 대한 공식은 

λ=4L/3이 됩니다. 

세번째, 네번째 역시 같습니다. 이들 파장에 대한 일반식은 λ=4L/n이 됩니다. 이 때, n은 홀수배로 증가합니다.

n=1,3,5... 이런식으로요.

이번에는 맥놀이 진동수를 봅시다.

- 맥놀이 진동수는 간단합니다. 항상 양수의 값을 가지는 애입니다. 맥놀이 진동수는 소리굽쇠에 의한 화음 혹은 불협화음을 판단할 때 쓰는 개념인데요. 두 음원에 대한 진동수 차가 맥놀이 진동수가 됩니다. 

포인트는 맥놀이 진동수 값이 '양수'여야 한다는 점입니다.

마지막으로 소리의 도플러 효과를 보겠습니다.

- 아마 오늘한 것 중에서 가장 출제확률이 높은 것일 겁니다.  음속 값은 주어질테지만 15도에서 음속은 340m/s로 알려져있습니다. 온도가 높을수록 음속도 빨라집니다. 

도플러 효과는 크게 3가지 경우로 나눠서 생각합니다.

1) 정지해있는 청취자와 움직이는 음원

- 우리는 음원에 의해 전달되는 파장을 직접 느끼곤 합니다. 가장 대표적인 예시가 구급차 혹은 경찰차의 사이렌 소리죠. 이들 음원이 우리에게 다가올수록 파장은 짧아집니다. 이를 공식화 시켜서 표현하면 이러합니다.

아래에 음수 표시는 '음원이 청취자에게 접근할 때' 를 의미합니다. 그렇다면 양수 표시가 된다면 '음원이 청취자로부터 멀어질 때'를 의미하겠군요. f는 기존의 진동수를 의미합니다. 즉, 청취자와 음원 둘다 정지해있을때의 '기본 진동수'입니다. 그리고 여기서 v는 음속을 뜻합니다. 음속이 아닌 속도는 제가 아래첨자로 표시했구요.

2) 정지해있는 음원과 움직이는 청취자

- 마찬가지입니다. 공식은 위와 비슷합니다.

다른게 있다면 청취자가 음원에 접근할 때는 '양수 표시' 라는 점. 그렇다면 청취자가 음원에게서 멀어질 때는 '음수 표시'라는 점입니다.

3) 움직이는 음원과 움직이는 청취자

- 이 때는 이제 상대속도 개념입니다.  그러나 두려울 것 없습니다 ㅎㅎ 그냥 1번식과 2번식의 짬뽕입니다.

청취자와 물체가 서로 가까워지는 방향으로 움직인다면 위에 부호는 +이고 아래부호는 -일 것입니다. 

만약 청취자는 음원에게서 멀어지는 방향인데 음원은 청취자에게 가까워 진다면  -,- 부호일거구요.

어떻게 부호를 설정해야하는지 감이 잡히시죠?

1. 밀도의 정의

- 밀도는 질량/부피를 의미합니다. 유체역학에서는 강체역학과 달리 액체와 기체에 관한 역학이기 때문에 질량 대신 밀도를 사용합니다. 밀도는 유체의 어느 지점에서나 균일합니다. 

2. 비중의 정의

- 상대 밀도라는 뜻을 가지고 있습니다. 물체가 가지는 밀도와 그에 대비하여 4도에서의 물의 밀도 (1000kg/m^3)과의 상대적인 비를 의미합니다. 

3. 압력의 정의

- 압력은 단위 면적 당 받는 힘을 의미합니다. 만약 단위면적과 힘이 2배가 증가한다고 하면 압력은 증가 전과 증가 후가 같습니다. 따라서 무조건 힘이 커졌다고 해서 압력도 커지는 것은 아닙니다. 항상 단면적과 함께 생각하시면 좋습니다.

4. 계기압력과 절대압력이 무엇인가?

- 우리는 유체에 의한 압력 공식을 p=p0+ρgh로 배웠습니다.

p0는 대기압을 뜻하며 뒤에 나온 ρgh값이 바로 계기압력을 뜻합니다. 즉, 대기압에서 늘어난 만큼의 압력이라 보시면 되겠습니다. 그리고 절대압력은 p를 의미합니다. 따라서 물체가 받는 총 압력을 뜻합니다. 

5. 파스칼의 원리

- 밀폐된 용기 내에서 한쪽으로 주어진 압력은 다른쪽으로 동일한 크기의 압력을 가한다는 원리 입니다.  주차타워. 유압가중기같은 것이 파스칼의 원리를 바탕으로 만든 것이라 보시면 되겠습니다. 즉, F1/A1 = F2/A2를 의미합니다.

6. 부력 (아르키메데스의 원리)

- 부력의 정의는 유체 속에 잠긴 물체의 부피에 상응하는 크기의 힘을 말합니다. 만약 유체를 누르는 물체 힘이 존재한다면 이 크기와 똑같은 힘 (작용&반작용)이 물체를 들어올리는 방향으로 작용합니다. B로 나타냅니다. 

만약 물 위에 뜬 상태라고 한다면 힘의 평형원리를 이용하여 풀면 되겠군요.

7. 연속방정식

- 단면적과 속도의 곱은 항상 일정하다는 방정식입니다. 정확히 지금 제가 말한 것은 비압축성 연속방정식입니다. 비압축성이란 밀도가 동일할 때를 말합니다. 즉, 유체가 하나인 경우를 의미합니다.  압축성 연속방정식은  유체가 2개 이상인 경우에 해당합니다. 보통 베르누이 방정식을 적용하려면 비압축성이여야 합니다. Av=const가 공식입니다.

8. 부피 흐름률

- Av의 값은 dV/dt로 나타낼 수 있으며 단위는 L/s입니다. 이 부피 흐름률에다가 밀도를 곱하면 질량 흐름률이 됩니다.

9. 베르누이 방정식

- 1) 비압축성  2) 정상류   이 두 조건에서만 성립하는 유체 동역학의 이론입니다. 우리가 강체역학에서 배웠듯이 에너지 보존장인 상태에서는  위치에너지와 운동에너지의 합이 항상 일정한 값을 가졌습니다. 유체역학에서는 이를 지칭하는 방정식이 베르누이 방정식입니다. 

위와 같은 공식입니다. p는 압력입니다. 제가 깜빡하고 p1, p2로 구분을 안했네요 죄송합니다. 

10. 점성

- 점성은 유체역학에서의 '마찰력'과 같습니다.  베르누이 방정식에서의 조건을 좀 더 자세히 설명하겠습니다. 비압축성은 위에서 말했듯이 유체의 모든 지점에서 동일한 밀도를 가진다는 뜻입니다. 그리고 정상류는 방향의 흐름이 눈에 띠게 확실한 것을 말합니다. 이 둘에 반대되는 말이 뭘까요? 비압축성의 반대는 압축성을 가지는 유체이며 이를 '점성'이 존재한다라고 말합니다. 생각해보십시오. 유체가 다른데 당연히 이 둘 사이의 '속력의 크기'도 다를 것입니다. 속력의 크기에 영향을 주는 인자는 뭐가있나요? 여러 가지 있겠지만 '마찰력'도 존재합니다. 즉, 점성이 존재한다는 것이죠.

정상류의 반대는 난기류입니다. 흐름이 일정치 않고 방향이 지멋대로인것을 말하죠. 

난기류의 경우는 액체에는 없습니다. 기체에 많이 보이는데 생활 속의 예로 담배 연기정도가 있겠습니다. 여러분들이 담배 연기를 관찰해보시면 액체처럼 일정하게 흐르는게 아니라 이리저리 향이 나는 것을 볼 수 있을겁니다. 

편입에 필요한 유체역학 개념은 이 10가지로 충분하리라 생각됩니다. 워낙 단원이 짧기도 하고 쉽게 1문제씩만 내기 때문에 꼭 맞추고가시길 바랍니다.

일이라는 것은 우리가 어떤 물체에 힘을 가했을 때 그 물체가 이동한 거리를 곱해준 개념입니다. 힘*거리 개념이죠.

근데 이 일이라는 것이 에너지와 연관이 깊습니다.  우리가 물리를 배우다보면 운동에너지, 위치에너지라는 것을 배우게 될텐데요. 운동에너지는 물체의 속도에 관한 에너지고, 위치에너지는 중력에 거슬러서 우리가 계에 해준 일을 말합니다.

대부분의 교재는 이 위치에너지를 '포텐셜 에너지' 라고 부릅니다. 고등학교 때는 위치에너지라고 하는거 같은데 대학와서는 이걸 포텐셜 에너지라고 합니다. 

일의 수식적 정의를 봅시다. 제가 말했듯이 힘*거리=일입니다. 근데 이 일이라는 것이 항상 직선거리만 가는건 아니기 때문에 우리는 적분을 사용합니다. 

이게 일입니다. 근데 마지막 줄에 나온 공식을 보면 저건 운동에너지 공식과 똑같습니다. 즉, 운동에너지가 일의 크기가 될 수 있다는 말입니다. 어쩌다보니 운동에너지까지 정의하게되었네요 ㅎㅎ

자, 그 다음은 위치에너지를 봅시다. 위치에너지도 일의 개념이라 봐도 무방하겠죠?  W=mgh입니다. 

mg는 질량에 중력가속도를 곱해준 것이며 h는 높이변화를 뜻합니다. 따라서 운동에너지와 위치에너지는 일의 한 부분이라는 것을 알 수있습니다.  이것은 이제 우리가 곧 배울 역학적 에너지 보존법칙에서 필수개념이 됩니다.