Crush on Study

▶ 비오 사바르 법칙

지금부터 쓰는 전자기학 내용은 자기현상에 대한 것입니다. 먼저 자기현상이 어떻게 발견되었는지부터 천천히 알아보겠습니다. 자기현상은 외르스테드가 전류 주위의 나침반 바늘이 움직여지는 것을 관찰하게 되면서 연구가 시작되었습니다. 

전기현상과 자기현상은 대응되는 관계가 굉장히 많습니다. 그러므로 표를 통해 비교하면서 쉽게 알아보도록 하죠.

전기장의 단위는 N/C 또는 V/m입니다.  자기장의 단위는 테슬라 (T)입니다. 미장 주식인줄 ㅎ

쿨롱 법칙의 경우는 dq대신 전하밀도*미소부피dV를 곱하는 꼴로 표현도 가능했었죠?

비오-사바르 법칙의 경우는 idl대신 전류밀도J에다가 미소부피 dV를 곱하는 꼴로 표현이 가능합니다.

▶ 앙페르 법칙

앙페르 법칙은 가우스 법칙과 대응되는 관계라 하였습니다. 

가우스 법칙을 다시 되짚어보겠습니다. 전기선속을 구하는 방법은 전기장의 값과 단면적의 값을 벡터내적 시킨 값과 같았습니다. 이때  E와 A를 내적시킨 값은 전하Q를 진공상태에서의 유전율로 나눈값과도 같다고 했었죠? 이게 가우스 법칙입니다.  조건은 임의의 가우스 폐곡면으로 둘러쌓인 상태로 정해놔야했었죠.

그런데 앙페르 법칙은 조금 다릅니다. 가우스 법칙 역시 자기장에 대해서도 적용이 됩니다. 

먼저 폐곡면을 지정하는 것은 똑같습니다. 근데 전기선속과 달리 폐곡면을 통과하는 자기선속의 값은 항상 0입니다.

전기선속의 값은 전하Q/진공상태 유전율의 값이지만 자기선속의 값은 0이다! 이거죠. 

왜냐? 이는 미적분학에서 배웠던 선적분의 기본정리에서 잘 나와있습니다. 자기선속은 시작과 끝이 존재하거든요. 

전기선속은 무한히 뻗어나가지만 자기선속은 시작과 끝이 존재합니다. 폐곡선이죠. 지구의 N극과 S극을 생각해보시면 됩니다. 폐곡선에 대한 선적분의 값은 항상 0이라는 것. 기억하고 계십쇼!

그러면 앙페르 법칙을 통해서도 자기선속을 구할 수 있겠죠? 가우스 법칙을 통해 전기선속을 구했듯이

앙페르 법칙은 다음과 같습니다.  자기선속의 값 = 자기장과 단면적의 벡터외적 = 뮤제로(진공상태의 투자율) * 전류

지금부터는 전자기학 3단원내용입니다.

먼저 소개해드릴 내용은 라플라시안과 푸아송 방정식인데요. 이를 알기 위해서는

먼저 이들을 소개하려면 가우스 법칙 (맥스웰 방정식 1단계)을 먼저 익혀야 합니다.

물론 가우스 법칙정도는 이제 웬만큼 깨우치셨을테니  간단히 적분형 가우스 법칙에서 미분형 가우스 법칙으로 유도되는 과정만 함께 적도록 할게요.

이거를 미분형태로 표현하자는 것인데요. 저 인테그랄 기호가 폐곡면임을 의미하는 것이거든요? dA에 대한 미분이니까요. 그러면 발산 정리에 의해 E dA를

델E와 dV의 곱으로 바꿔줄 수가 있습니다. 그러면 아래처럼 표현이 됩니다.

양변에 dV에 대한 적분이니까, 이를 생략해주면 델E는 부피전하밀도/입실론제로가 될 것 입니다.

이게 이제 전기장에서의 가우스 법칙을 미분형태로 표현한 것인데요. 여기서 한 단계

더 나아가면 라플라시안과 푸아송 방정식이 됩니다. 

우리는 전기장과 전위의 관계도 앞서 배웠었습니다. 전위의 그래디언트값에 음수를 붙이면 그게 전기장이 되었었는데요. 그러면 이렇게 표현이 됩니다.

자, 이것의 의미가 뭔지 설명해드리겠습니다. 우리가 고등학생 때 수학을 공부하면

이러한 3차 함수 그래프를 두고, 1계미분과 2계미분에 대해 본 적이 있을거에요.

주어진 함수에서 1계미분을 했을 때, 0인 지점은 이제 극값이 되는 것이고, 2계미분을 했을 때, 양수인지 음수인지 판단하에 따라  위로 볼록, 아래로 오목 이라는 개념을 배웠을 것입니다. 이를 통해 기울기의 특징을 배웠을텐데요.  전기장에서 같은 역할을 하는게 라플라시안과 푸아송 방정식입니다.

라플라시안은 전하 밀도가 0인 상태를 의미하구요. 푸아송 방정식을 통해 퍼텐셜이 주변에 비해 어떠한 상태인지 알려주는 척도가 될 것입니다.

보통 전자기학에서는 푸아송 방정식보다 라플라시안을 주로 쓰는 편입니다. 우변이 0이라 더 쉽거든요. 그러면 라플라시안의 1차원,2차원,3차원 꼴을 한번 보도록 하겠습니다.

티스토리 블로그 스킨편집을 한 이후 수식편집기가 잘 안먹어서 수식입력이 안되네요. 일단 스킵해두고 추후에 설명드리겠습니다.

* Tip. 라플라시안은 좌표계에 따라 달라질 수 있다는 것을 아셔야 합니다.

이런식으로 표현이 됩니다.

▶ 막대 전하에서의 전위 값 구하기

자, 전위 값은 우리가 알다시피, 전기장을 거리에 대한 적분을 시킨 값에다가 음수를 붙여주면 되었습니다. 또는 미분으로 표현하면 E=-∇V로 둘 수 있습니다.

그러면 복습해볼겸 위 그림 상에서의 전기장 값을 구해보도록 합시다. 

자, 전기장 구하는 법 어느정도 파악 되시죠? 이제는 간단합니다. 여기서 z에 대한 적분만 해주면 되요. 

왜냐? 방향 성분이 z 하나니까요!  그러면 다음과 같이 나오게 됩니다. 

▶ 고리 전하에서의 전위 값 구하기

- 고리 전하는 연속적인 전하 분포 밀도 중에서 선 전하밀도를 이용하여 풀어보는 것으로 하겠습니다. 

자, 고리 전하가 가지는 반지름은 a, 그리고 P점까지 떨어진 거리를 x라고 하겠습니다. 길이 전하를 이용하기 위해선

dq=람다*dl 이라고 둬야겠죠? 마찬가지로 고리 전하의 전위를 파악해보도록 합시다.

▶ 균일하게 대전된 원판에서의 전위 값 구하기

이거도 어렵지 않습니다. 다만, 이젠 길이나 고리전하에 대한 것이 아니므로, '면적'임을 예의주시하고 풀이하면 됩니다.

다음 포스팅에서는 이제 구껍질과 속이 꽉 찬 구에 대한 퍼텐셜을 구해보도록 하겠습니다.

▶전기 퍼텐셜 에너지

- 우리가 고등학교 때 물리를 공부할 때면, 퍼텐셜 에너지 대신 위치에너지라는 용어를 많이 썼습니다. 사실, 이 위치에너지는 틀린 말입니다. 퍼텐셜 에너지가 무엇인지 먼저 설명해드리고자 합니다.  

퍼텐셜 에너지는 크게 3가지가 있습니다.  중력, 전기장, 용수철. 

여기서 가장 친숙한 중력 퍼텐셜 에너지에 대해 잠깐 설명해보겠습니다.  우리는 모두 중력의 영향을 받고있습니다. 

뉴턴의 사과처럼요. 나무에 매달려있던 사과는 중력에 의해 지표면으로 떨어집니다. 근데 우리는 이 떨어진 사과가 아까워서 다시 나무 위에 올려다두었습니다. 이 때, 높이 h만큼 사과의 무게 mg를 들어올렸습니다. 즉, 중력에 반하는 에너지 크기만큼 우리가 '일을 해주었습니다.'  

전기 퍼텐셜 에너지도 마찬가지입니다. +에서 -로 흐르고 있는 전기장 속에서 +q를 놓으면요. 이 +q는 -쪽으로 흐를 것입니다. 자연스러운거죠. 뉴턴의 사과처럼요.  근데 우리가 이 +q를 +쪽으로 거리 d만큼 움직여놨어요.  그러면 이 +q는 외력(우리의 힘)에 의해 전기장에 반하는 에너지를 받은 것이죠? 이게 전기 퍼텐셜 에너지입니다. 

자, 그렇다면 왜 마이너스가 붙었는지 짐작이 가실것입니다. 가역적인 반응에 반대되는 힘을 우리가 가해주었기 때문이죠. 

그러면 전기 퍼텐셜은 뭘까요? 전기 퍼텐셜과 전기 퍼텐셜 에너지는 엄연히 다릅니다.

▶전기 퍼텐셜

- 전기 퍼텐셜은 그냥 전기 퍼텐셜 에너지에서 시험전하 q를 나눠줍니다. 이를 전위라고 부르기도 합니다. (=전기 퍼텐셜)  이렇게 되면 우리는 전기 퍼텐셜 에너지와  전기 퍼텐셜. 그리고 전기장과 전기력에 대한 Cycle을 이해할 수 있게 됩니다.  이 싸이클은 여러분들이 직접 그려보는걸로 합시다. 과제내주는거 같네요 ㅎㅎ

▶무한한 길이 도선의 전위

우리는 위 공식에서 전위가 결국 전기장을 길이에 대한 적분을 해준 값과 동일하다는 것을 알고 있습니다. 그렇다면 먼저, 위 문제를 풀기 전에 전기장 값을 구한다면 실마리를 찾을 수 있겠네요. 이거에 대한 전기장 유도과정은 이전 포스팅에도 했지만  복습할 겸 다시 써보겠습니다. 

이렇게 풀 수 있겠습니다. 

+ 추가로 하나 더 설명하고 마치겠습니다. 퍼텐셜 에너지라는 것이 성립하려면은 '보존장' 이라는 조건이 필요합니다. 이 보존장을 벡터형식으로 검증하려면 'Curl' 이라는 개념을 사용해야 합니다.  벡터미적분학 파트에서 회전과 발산이라는 단원에서 배울겁니다. Curl의 경우는 주어진 벡터장 F에 대해 그래디언트와의 벡터 외적을 해준 것을 의미하는데요. 만약 Curl F가 0이라면 그 벡터장은 보존장이라고 합니다.  

따라서, 전기 퍼텐셜 에너지가 성립하려면 전기장 벡터 E와 그래디언트의 벡터 외적값이 0이여야 함을 먼저 적어야 의미가 있겠습니다. 

▶ 무한 막대 전하 (원통형 도선)에서의 전기장

- 오늘 포스팅 역시 가우스 법칙을 이용하여 푸는 문제입니다. 먼저 그림을 보도록 합시다.

+++++ 연속적인 전하로 이루어진 막대 도선이 존재합니다. 그리고 그 막대 도선으로부터 거리 r만큼 떨어진 곳에서의 

전기장을 구하고자 합니다. 위 그림에서 보시면 푸른색의 원통이 그려져있는데 저건 사실 임의의 폐곡면을 설정하기 위해 그려놓은 가우스 폐곡면입니다. 

자, 그림 (b)는 막대 도선을 위에서 바라본 모습입니다. 전기력선이 방사형으로 펼쳐지고 있죠? 이 때의 전기장 벡터와  가우스 폐곡면 위에 존재하는 미소면적 dA벡터를 보시면 둘은 방향이 일치하므로 세타는 0도입니다. 

그러나, 가우스 폐곡면의 윗면과 밑면의 경우는 전기장 벡터와 수직이므로 cos90=0이 됩니다. 즉, 우리는 가우스 법칙을 이용하여 전기장을 구하고자할 때, dA를 적분한 값은 곧, 폐곡면의 '옆넓이'에만 해당한다는 것을 알 수 있습니다. 

▶ 무한한 평면판에서의 전기장

얘도 어렵지 않습니다. 아래 그림을 봅시다.

거리 d만큼 떨어져있는 점에서 무한 평면에 의한 전기장값을 구하고자 합니다.  마찬가지로 적분형 가우스 법칙을 적용하여 식을 세팅하면 벡터와 미소면적의 내적값을 적분한 값과 전체 전하량 / 진공상태에서의 유전율 값이 동일하다고 둘 수 있을 것입니다. 평면판을 보면 앞 뒤로 전기력선이 뻗어나간다고 볼 수 있습니다. 보시면 평면판은 +전하로 전부 대전되어있습니다. 따라서, 식을 이렇게 세울 수 있죠.

▶ 구 외부에서의 전기장 값

보시면 Q는 균일하게 꽉 찬 구에서의 전체 전하량입니다. R은 전하의 반지름이고 r은 구로부터 떨어진 거리를 의미합니다. 우리는 r만큼 떨어진 어느 지점을 P라고 하겠습니다.  P점에서의 전기장을 구하면 되는 것입니다. 

구 외부에서의 전기장 값을 구하는 법은 쉽습니다. 그냥 구를 하나의 '점전하'로 인식하면 되거든요. 위 그림에서는 r의 크기가 R과 차이가 안나보이지만요 ㅎㅎ  어쨌든, 먼저 적분꼴 가우스 법칙을 가져와서 생각해보도록 합시다.

자, 이 상태에서 dA는 뭐죠? 구의 미소면적이죠? 근데 이 미소면적에 적분을 붙여주면 결국 구의 표면적을 의미합니다. 

근데 우리가 이전 포스팅에서 공부했듯이, Flux의 총량은 구의 표면에서의 적분값과 같다고 했습니다. 따라서, 지금 우리는 r만큼 떨어진 거리에서 '임의의 가우스 폐곡면'을 그려주었으니, 반지름이 r인 구의 표면적을 구하면 되는 것입니다. 

이걸 '구각 정리 (구껍질 정리)' 라고 부릅니다. 

그러면 dA를 적분한 값은 4πr^2이 되겠습니다. 따라서, 구 외부에서의 전기장은 다음 값을 가지게 됩니다.

▶ 구 내부에서의 전기장 값

- 자, 이번에는 구 내부에서의 전기장 값입니다. 

얘는 좀 어렵습니다. 

이러한 모습이죠? 얘는 부피 전하 밀도를 사용할것입니다. 여기서도 구껍질 정리를 적용할 수 있습니다. 이번에는 구의 껍질이 반지름이 R인 구가 되겠습니다. 

여러분들이 이미 알고 계시겠지만 내부가 균일하게 꽉 찬 구라는 것은  '부도체' 구임을 의미합니다. 만약 도체 구라면  구 내부의 전기장 값은 0입니다. 대전된 상태의 구는 전하들이 구의 표면으로 전부 이동하기 때문이지요. 

아무튼 이쪽 파트는 일반물리2에서도 배우셨겠지만 전자기학에서도 그대로 재탕할만큼 매우 중요한 파트이므로, 열심히 공부하시길 바랍니다. 

+ 추가로 설명드릴게 하나 있어서 이어 적습니다. 바로 부도체 구에서의 내부와 표면, 외부에 따른 전기장값의 그래프인데요. 

이런 꼴의 그래프를 보이게 됩니다. 보시면 구 내부에서는 거리에 따라 직선형태로 전기장이 증가하다가 '표면'에서 최고점을 찍고 외부로 나가게 되는 순간부터는 거리와 전기장의 크기가 서로 반비례하는 모습을 보이고 있습니다.  이는 나중에 전위를 공부할 때 전위그래프와 함께 비교하며  다시 나오게될 것입니다. 

일반물리에서는 사실 미분형 가우스 법칙표현법을 배우진 않는걸로 압니다.  일단 가우스 법칙이 무엇인지부터 봅시다.

가우스 폐곡면은 Flux(유량) 라는 개념을 바탕으로 합니다.  제가 전기장에 대해 누누히 언급했는데, 전기장은 원천 전하가 주변에 영향력을 미치는 공간이라고 했습니다. 그 영향력을 행세한다는 의미로 우리는 그냥 선을 그려놓곤했습니다. 

이런 식으로 말이죠. 저 선을 '전기선속' 이라고 합니다. 그리고 가우스 법칙은 곡면을 통과하는 전기선속의 양에 대해 설명하고 있습니다.  자, 그러면 적분형 가우스 법칙을 봅시다. 

dA는 전체 폐곡면 상에서 임의로 정한 미소면적입니다. 우리가 앞에서 길이전하랑 고리전하했을 때처럼 말이죠. 

즉, 전체 폐곡면을 통과하는 전기장들의 알짜합은 전체 전하량을 진공상태에서의 유전율로 나눈값과 같으며, 이를 전기선속이라고 부른다는 것입니다. 그러면 적분형 가우스 법칙과 미분형 가우스 법칙 사이에는 어떤 연관이 있을까요?

해답은 발산정리에 있습니다. 

▶ 발산 정리 (Divergence Theorem)

- 주어진 공간도형의 정사영 면적을 S라고 하자. 공간도형은 모든 면이 폐곡면이고 연속인 2계 편도함수가 성립할 시, 정사영 S에 해당하는 폐곡면 적분값은 부피에 대한 적분 값 (Flux)과 같다.

이건 스튜어트 미분적분학에서 제가 배웠던 발산정리의 정의라서 물리에서는 조금 다르게 표현할 수도 있습니다. 아무튼 이 발산정리가 왜 가우스 법칙에 적용이 되느냐!  맨 위 그림을 보시면 원천 전하 q가 전기장을 형성시키고 있습니다. 그리고 그를 둘러싼 임의의 가우스 폐곡면이 설정되어있죠? 이 때, 미소면적 dA는 가우스 폐곡면의 표면에 위치합니다. 즉, 이 미소면적에 대한 적분값이 곧 원천 전하 q가 내뿜는 전기선속(Flux)의 알짜합과 같다는 말이기 때문입니다. 

그래서, 우리는 이렇게 표현이 가능합니다. 

 저기 '델' 기호는 발산을 뜻합니다. 전기장과 델의 내적값이 알짜 전기선속과 같습니다. 또는 위 공식을 이렇게 표현하기도 합니다. 

D의 경우는 특정한 영역에서의 전기장벡터를 의미합니다. 아직 제가 이부분에 대해서는 자세히 알아보진 공부해보진 못했고 저런 표현법이 있다는 것만 알고 있습니다.  그리고 왼쪽 식의 경우는 적분값을 제외했으므로, 당연히 전체 전하량이 아닌 부피 전하밀도로 표현해야한다는 것정도는 유추가 가능하실겁니다.  

위의 법칙을 가우스 법칙 혹은 맥스웰 방정식 1번이라고 부르기도 합니다. 

고리 전하의 전기장 값을 구해보도록 합시다. 얘도 똑같아요. 이전 포스팅에서 했던 것처럼 세팅을 먼저 하겠습니다. 

고리 전하라고 해서 다를건 없습니다. 길이 전하를 동그랗게 만드면 그게 곧 고리 전하니까요! 따라서, 우리는 전하밀도 중에서 선 전하밀도를 채택해서 쓰면 되겠습니다.  

그림에서 보시는것처럼 전체 고리 전하도선에서 미소전하량 dq를 정해준 것이 보일 것입니다. 그 지점에서부터 우리가 구하고자 하는 전기장의 위치인 P점까지의 거리를 r이라고 두었습니다. 

보시면 고리도선의 반지름은 a고 고리도선 중심에서부터 P점까지의 거리는 x입니다. 그리고 dq로부터 나온 전기장 벡터성분을 위에서처럼 나눴구요. 눈치채셨겠지만 dEy는 전부 상쇄됩니다. 오로지 dEx만 구하면 됩니다. 그러면 어느정도 문제를 파악했고 세팅도 끝났으니 식을 세워보도록 합시다.