Crush on Study

하나 더 추가로 풀어보겠습니다. 이거는 0X년대 연세대 기출로 나왔던 문젠데 위 스타일과 비슷한 유형의 문제라 이것도 풀어드리겠습니다. 

스퀴즈 정리는 조임 정리라고도 불리며 우리가 이를 일변수함수 파트에서 공부할 때, 세 함수가 주어지고 1<2<3번함수 식으로 부등식을 가질 때, 1,3함수의 극한값이 동일하면 2번함수도 극한값이 동일하다고 직관적으로 받아들이곤 했습니다. 여러분도 잘 알다시피 이러한 정리는 급수파트에서 증명하거나 그 이외에도 증명을 할 때 요긴하게 쓰이는 증명법이곤 했는데요. 오늘은 이 스퀴즈 정리를 다른 방법으로 정의해보고자 합니다. 바로 입실론 델타논법으로 말이죠.

이전에는  합의 법칙 증명과 삼각부등식에 대해 간략한 증명을 했었습니다.  이번에는 조금 더 까다로운 곱의 법칙을 증명하고자 합니다. 상수배와 차의 법칙은 짧으니 곱법칙 부터 얼른 하겠습니다.

많이 헷갈리실 겁니다. 사실 곱의 법칙 증명은 저도 그냥 외웠거든요. 애초에 우리가 시험장에 들어가면 임의의 입실론을 잡을수 있긴하겠지만 위에서 케이스 분류를 해준것처럼 가장 이상적인 입실론델타의 설정은 바로바로 생각하기가 어렵습니다. 그래서 왠만하면 입델문제 증명은 교재에 나온 그대로 서술하는게 좋습니다. 가장 최적의 방법을 제시해주기 때문입니다. 이부분은 그냥 냅다 제가 써놓기만 하고 설명을 못한게 죄송스럽지만 입델에서 나오는 6~7가지 증명법은 외워두면 좋습니다. 실제로 17년 기출에 그대로 출제된 적이 있었습니다. 많이 어려운 유형이였으나 외우고 가신분들은 쉽게 써내려갔거든요.

다음은 상수배 법칙과 차의 법칙입니다.

포인트는 g(x)=c입니다. 대체로 증명을 할 때는 입델뿐만 아니라 포인트 몇가지 정도는 외우고 가시면 좋습니다. 힌트를 알고 있다면 증명해가는것은 그래도 도움이 되니까요.  마지막으로 차의 법칙입니다. 차의 법칙은 상수배법칙을 이용합니다.

입실론델타에서 필수적으로 쓰이는 법칙이 2가지가 있습니다. 그 중 하나가 여기에 소개된 '삼각부등식' 입니다.

삼각부등식을 증명하라는 문제까지는 나오지 않을 것 같으나 입실론델타에서 '삼각부등식' 과 '산술기하 평균'은

정말 필수적으로 알아야하는 개념입니다. 최근 기출 추세를 보면 더이상 간단한 입델문제를 내진 않고 (ex. x->1로 갈 때, f(x)=x의 극한값이 1인 것을 입델로 증명하시오.)  위 문제처럼 증명하라는걸 내는 추세입니다. 

* 해석학 수준이 아닌 미적분학 수준에서 내는 입델 문제 위주로 다룹니다.

연세대 편입수학 1번문제는 항상 입실론델타로 나올만큼 고정문제입니다. 그렇기 때문에 합격을 생각하고 있다면 사실 입델을 절대 포기해선 안됩니다. 

지금부터 쓰는 입델 시리즈를 잘 보고  기계처럼 푸시길 바랍니다. 어차피 편수에 나오는 입델은 기계처럼 푸는법만 알아도 됩니다. 수학과 학생이라면 절대 그래선 안되지만요.

▶ 입실론 델타 

- 우리가 고등학교 시간때 배우는 '함수의 극한' , '함수의 연속'은 정의가 이러했습니다.

다만 이것은 대학수학을 배우게되면 애매한 표현이라고 교수님들이 언급하시긴 합니다. 가까이 다가간다라는 말 때문인데 x와 a의 거리가 얼마나 가까워야 위 극한을 정의할 수 있을지 보다 '객관적인 지표'가 필요했다 이겁니다. 

그래서 등장한게 입실론 델타 논법입니다. 임의의 델타를 던져줄테니  요거가지고 알아서 잘 조립해봐 ㅎㅎ 이런 말입니다. 그러면 먼저 대학수학에서는 함수의 극한을 어떻게 정의하는지 봅시다.

위 정의를 보시면 대충 감이 오는게 있습니다. 좌표평면 상에서 델타는 x축에서  a만큼의 위아래로 크기를 가지는 범위를 정한다는 말일 것이구요. 입실론은 y축에서 극한값 L만큼의 위아래로 크기를 가지는 범위를 정한다는 말일 것입니다. 

이를 그래프로 나타내서 보면 이러합니다.

바로 이것이죠. 여러분들이 정상적인 고교과정을 뗐다면 집합과 명제 단원을 배우신 적이 있을겁니다. 

입실론 델타는 바로 이 집합과 명제 단원을 바탕으로 설명합니다. 델타를 집합 A라고 하죠. 그리고 입실론을 집합 B라고 한다면 집합 A는 집합 B의 부분집합으로 받아들이면 된다는 것입니다.  따라서 집합 A는 집합 B와 같거나, 작은 범위를 가져야 합니다. 우리는 이거를 그대로 델타를 입실론과 같거나 혹은 그보다 작은 범위를 가지는 경우로 만들어주면 됩니다.  

일단 가장 간단한 예제부터 하나 찬찬히 보고 다음 포스팅으로 넘어가겠습니다.