Crush on Study

영의 이중슬릿 실험

영의 이중슬릿 실험은 대략적인 내용이 이러합니다. 그림을 보시면 S라는 광원이 평면파 형태로 단일슬릿에 부딪힙니다.

그러면 작은 틈 사이로 회절이 일어나게 됩니다. 회절된 전파가 다음의 이중슬릿을 만나면 S1,S2라는 새로운 광원이 되어 회절됩니다. 즉, S1과 S2가 구면파 형태로 퍼져나갈 때, 서로 간섭하게 될 경우  상쇄인지 보강인지 스크린에 표시되는 것을 보여주는 실험입니다. 

영의 실험을 통해 얻어진 공식을 한번 보겠습니다. 이 때의 조건은 이중슬릿과 스크린 사이의 거리가  광원 S1과 S2 사이의 폭보다 많이 클 때입니다.  폭의 길이를 d라고 하겠습니다. 그러면 i >> d 라고 보시면 되겠죠? 

또, 두번째 조건이 있습니다. 광원 S1,S2 사이의 폭의 중심으로부터 P점까지 잇는 선분. 그리고 중심으로부터 스크린의 중심까지 잇는 선분. 이 사이의 각 세타가 많이 작을 경우여야 합니다. 

이렇게 조건을 정했으면 이제 한번 보겠습니다. x/i의 값은 tan세타와 동일합니다. 근데 이 세타값이 많이 작으면

tan세타=sin세타=세타로 봐도 무방합니다. 여길 기억해주세요. 

저기 dsinΘ를 봅시다. 이는 광경로 L1와 L2사이의 경로차와 같습니다. 즉, 

L1-L2=dsinΘ라는 것인데, 우리는 세타가 많이 작으므로, 결국에는 dΘ로 둬도 됨을 알 수 있습니다. 

그리고 세타의 경우는 우리가 위에서 x/i라고 정의했죠? (위 그림에서는 i대신 L로 표시했네요.)

▶ 프레넬 거울

- 프레넬 거울은 거울이 2개가 존재하고 이 거울 사이의 각도가 180도 조금 못미친 상태에서에서의 반사를 보는 것입니다. 광원으로부터 나온 전자기파가 거울A면에 반사되고 거울B면에도 일부 반사되면 반사파들 2개가 결맞음현상에 의해 

보강간섭이든 상쇄간섭이든 일어나게 될 것입니다. 

이런 꼴로 나오는데요. 영의 이중슬릿실험과 비슷합니다. 단지, 영의 이중슬릿실험에서는 슬릿중심에서 스크린중심까지의 중심거리 R에 대한 것이였으면  프레넬 거울에서는 구면반지름 R과 반사지점에서 스크린 상의 임의의점까지의 직선거리 d의 합에 대한 것일 뿐입니다. 

기본적으로 전기장은 진폭으로 표현합니다. 자기장이 가지는 역할은 크게 없어요. 

kr부분은  공간에 대한 표시고, wt는 시간에 대한 표시죠.  코사인파든, 사인파든 표현은 자유입니다. 어쨌든 헥츠 책에는 저렇게 정의되어있으니 책을 따라 적겠습니다. 

그러면 간섭의 정의를 살펴봅시다. 간섭이라는 것은 두개의 Source로 부터 나온 전기장 진폭이 만나서 상쇄가 되든, 보강이 되든 하는 것을 말합니다. 즉, 거리가 가까워 서로 영향을 준다는 것이죠. 

그러면 우리가 이렇게 표현할 수 있습니다.

입실론1과 입실론2는 위상차를 의미합니다. 이 뜻은 두 전기장진폭이 같은 위치에서 나온 Source가 아닐수도 있음을 고려한 것입니다. 우리가 전기장진폭을 세웠으면 이것의 제곱이 곧, 빛의 세기 (복사조도)와 비례한다는 것을 알 수 있습니다. 

그러면 이제 우리가 주목해야할 것은 델타값입니다. 이 델타값이 어떻게 나오냐에 따라 보강간섭이 될지, 상쇄간섭이 될지 나오거든요. 

보강간섭이 되려면 코사인함수 값이 1이 되야합니다. 그러면 2mπ (m은 정수)로 나타낼 수 있겠습니다. 그렇죠?

m에 아무 정수나 대입해서 위에 복사조도 값에 대입해보시면 4I제로가 그대로 나옵니다. 

그러면 상쇄간섭의 값은 코사인함수 값이 0이 되야겠죠? 그러면 mπ (m은 정수)로 나타내면 되겠습니다. 그러면

스크린에는 이런 무늬가 나타나게 됩니다.

밝은 무늬가 복사 조도가 max일 때,  어두운 곳이 복사 조도가 min일 때입니다. 

빛은 알다시피 매질을 통해 전파됩니다. 태양으로부터 뿜어져 나온 전자기파가 이제 지구로 들어오게 되면요,

입사된 전자기파들은 지구의 열권,중간권,성층권쪽에서 존재하는 공기 산란자(Scatter)들에 의해 산란이 되게됩니다.

우리는 이 과정에서 보라색 영역과 파란색 영역대의 가시광선이 산란되기 때문에 위 사진과 같은 하늘색을 보게됩니다. 

그러면 이제 이것을 좀 더 자세히 알아봅시다. 

공기 중에서는 질소와 산소가 거의 주를 이룹니다. 이들이 가지고 있는 공명진동수는 가시광선이 아닌 UV,IR영역에서 존재하기 때문에 가시광선 영역에서는 '흡수'가 아닌 산란이 일어나게 됩니다. 

전자기파가 이제 질소와 산소입자와 만나 이들 주위를 돌고있는 '전자구름'을 오실레이션 시키게 됩니다. 그러면 오실레이션됨으로써, dipole들의 Radiation이 일어나게 됩니다. 그림으로 보면 아래와 같습니다.

전자기파가 공기 중의 입자와 만나 오실레이션이 일어난 뒤, 다이폴에 의해 방사상으로 퍼져나가는 것을 보이고 있습니다. 고체와 달리 기체의 경우는 저렇게 방사형으로 (모든 방향으로) 퍼져나가는 것이 핵심입니다. 

저렇게 퍼져나갔을 때, 만약 산란자들이 적당한 거리만큼 떨어져있었다면  서로 간섭을 하지 않는 상태겠죠?

이러한 상태일 때를 레일리 산란이라고 부릅니다. 

즉, 레일리 산란의 조건은 요약하자면 다음과 같습니다.

1. 입자의 크기가 전자기파의 크기보다 훨씬 작아야 한다. 대략 1/15

2. 산란시키는 원자들 간의 간격이 파장보다 커야한다. 

여기까지 대략적인 빛의 산란에 대해 알아보았고, 바로 다음 포스팅에서는 이제 보다 수학적으로 접근해보도록 하겠습니다.

▶ 빛은 어떤 '물질'인가?

- 빛을 물질이라고 표현하기에는 다소 어색함이 들겁니다. 그러나, 빛을 딱 무엇이다! 라고 정의하기에는 사실상 이것도 맞는거같고.. 저것도 맞는거 같고.. 해요! 

빛은 파동성과 입자성 둘다 띠고 있다는 것은 우리가 화학시간이나 맥스웰방정식 배울 때 많이 했을겁니다. 

빛의 파동성을 설명하는 예로는 회절과 간섭현상이 있을거구요.  입자성의 경우는 Localization과 momentum이 있겠습니다. 

▶ 1차원 파동

- 파동을 1차원으로 놓는다는 것은 간단합니다.  우리가 움직이는 물체를 피사체로 두고 사진을 찍었다고 생각합시다. 그러면 사진 속의 물체는 항상 그 자리에 고정되어있는 상태입니다. 그렇죠? 파동함수 역시 마찬가지입니다. 

Ψ(x,t)로 표현하곤 하는데, 여기서 t를 0으로 두자는 겁니다. t=0의 의미는 그냥 시간이 항상 고정인 상태라는 것을 의미한다고 보면 됩니다. 

근데 실제 파동이 항상 제자리에만 있는건 아닙니다. 그렇기 때문에, 우리는 실시간의 파동 진행에 대한 함수식을 나타내기 위해 '로렌츠 변환' 이라는 것을 이용합니다. 

이게 그 예시입니다. 파동이 양의 x방향으로 진행한다고 할 때, 로렌츠변환식은 x'=x-vt로 표현이 가능합니다. 

Ψ(x,t)=f(x')=f(x-vt) 이런 꼴이 되겠죠? 이제, 이 파동함수를 가지고 시간에 대한 식과 위치에 대한 식으로 각각 편미분을 함으로써 우리가 아는 파동방정식 꼴을 증명해보도록 합시다.

여기까지가 1차 편미분방정식이구요. 다음은 2차를 보도록 합시다.

이러한 꼴로 나타낼 수 있습니다. 그러면 두 2계 편미분방정식 사이의 관계를 이렇게 표현할 수 있겠죠?

자, 이게 1차원에서의 파동방정식입니다. 이 방정식은 '고정'된 상태입니다. 

1번. 오목거울인 경우

a) 물체에서 똑바로 거울을 향해 가는 입사광선을 그립니다. 

그 후, 그 입사광선은 거울을 만나면 반사광선이 되고, 이 반사광선은 초점을 '무조건' 지나가게 그려야 합니다.

b) 물체에서 거울 중심을 향해 가는 입사광선을 그립니다. 이는 지표면을 '법선벡터'로 잡고 반사의 법칙을 적용하여

입사각과 반사각을 동일하게 하여 반사광선을 그립니다.

c) 만약 초점거리 안쪽으로 물체가 존재할 때, 상을 그리라고 한다면 이렇게 하면 됩니다.

- 먼저 위에서 하던대로 a,b번의 절차대로 진행합니다. 

- 그 후, 거울에서 반사된 광선의 발끝을 시작으로 연장선을 그어줍니다.  그러면 거울 안쪽에 새로운 교차점이 생깁니다. 그게 상이 맺히는 구간입니다. 이를 '허상' 이라고 합니다.

a와 b를 시행했을 때, 만나게 되는 '교차점'이 상이 맺히는 곳이며, 지표면으로부터의 거리를 상의 크기라고 정의합니다.

이 때, 도립상인지 정립상인지 / 허상인지 실상인지 / 몇배율로 맺힌건지  확인하는 방법은  거울방정식을 이용하면 됨

왼쪽 공식이 거울방정식. p는 물체와 거울사이의 거리 / q는 상과 거울사이의 거리 / R은 구경(반지름이라 생각하세요)

/ f는 초점거리입니다.  / m은 배율을 뜻함

여러분들은 물체와 거울사이의 거리 p에 따라서 q값이 정해진다는 것을 아셔야 합니다. 초점거리는 항상 고정입니다. 

Example) 초점거리가 10cm이고  물체와 거울사이의 거리가 30cm인 경우  상이 맺히는 거리는?

답은 15cm입니다. 간단한 산수죠? 그러면 이제 배율을 봅시다.  -15/30 이므로  -0.5배입니다.  일단 축소된 상이

맺힌다는 것은 당연하구요. 음수는 뭘 의미할까요? 그렇습니다. 이게 '도립상' 이라는 뜻입니다. 만약 양수면 '정립상'이 됩니다. 

도립상은 상이 거꾸로 맺힌거고  정립상은 상이 원래방향으로 맺힌걸 말합니다. 

+ Tip. 물체와 거울사이의 거리가  초점거리와 같다면 상이 맺히지 않습니다. 그리고 초점거리 안쪽으로 물체가 들어서게 되면 그 때부터는  상은 커지고 정립상이 됩니다. 단, 정립허상입니다.  

++ Tip. 허상은 연장선(가상의 선)에 의해 맺힌 상이며, 실상은 실제 광선에 의해 맺힌 상입니다. 입사광선,반사광선은 모두 실제 광선이니까  반사광선이 가상의 선인가? 라고 착각하시면 안됩니다.  

2) 볼록거울인 경우

a) 볼록거울은 초점이 거울안쪽에만 존재합니다. 따라서 모든 상은 허상이 됩니다. 왜냐? 반사광선의 연장선으로만 거울안쪽의 초점에 도달하게 할 수 있으니까!

b) 작도법은 오목거울과 동일합니다. 물체로부터 정면으로 출발한 입사광선은 볼록거울과 만나면 반사되고, 그 반사광선의 연장선은  거울안쪽의 초점을 '반드시 지나게 됩니다.'

c) 역시 마찬가지로 거울 중심으로 향하는 입사광선은  법선벡터에 의해 반사되고 그 반사광선의 연장선은 거울안쪽으로 향합니다. 그러다가 b번에서 작도한 연장선과 만나는 지점이 '반드시 존재합니다.' 그 부분이 상이 맺히는 위치이며 크기입니다. 

+Tip. 볼록거울은 무조건 정립허상입니다. 그리고 그 상의 크기는 항상 작습니다. 

3) 볼록렌즈인 경우

a) 원리는 항상같습니다. 물체로부터 정면으로 출발하는 광선은 볼록렌즈에 도달할 시 굴절되구요. 그 굴절광선은 

반대편 '초점을 반드시 지나야 합니다.'

b) 렌즈의 중심을 통과하는 입사광선은 굴절되지 않고 그대로 쭉 투과됩니다.

c) 물체로부터 현재 위치한 영역의 '초점'을 지난 광선은 렌즈와 만나게 될시, 굴절됩니다. 이 때, 굴절된 광선은 

a번에서처럼 정면으로 빠져나가게 됩니다. 

Example) 물체가 초점거리보다 뒤에 있는 경우에는  도립실상입니다. 상은 반대편에 맺혀요. 오목거울과 다 동일하지만 오목거울은 상이 입사광선이 있는 곳에서 맺히고, 볼록렌즈는 상이 굴절광선이 있는 곳에서 맺힌다는 것. 그거면 됩니다.

물체가 초점거리에 위치할 경우에는 상이 맺히지 않습니다. 그리고 초점거리 안팎에 물체가 존재할 때는  정립허상이 생기고 크기는 물체보다 큽니다. 

4) 오목렌즈인 경우

얘는 볼록거울과 성질이 같습니다. 항상 물체보다 크기가 작은 정립허상입니다. 그리고 상이 맺히는 곳은 물체가 있는 곳과 동일합니다. 

광학에서 나름 어려운 파트에 속합니다. 간섭과 회절 파트인데요. 일단 보강 간섭과 상쇄 간섭을 본 뒤 천천히 회절을 봅시다. 

먼저 보강간섭의 정의는,  위상차가 같은 사인파, 코사인파 같은 그래프가 서로 다가와 만나게 될 시  더 큰 진폭을 얻는다는 말입니다.

이를 이해하기 위해서 먼저 고정단 반사 & 자유단 반사 그리고 위상차에 대해서 알아보도록 합시다.

1) 고정단 반사 : 얇은 실로 된 줄과  두꺼운 철사 줄이 같이 직렬로 묶여 있다고 생각합시다. 이 때, 얇은 실로 된 줄에서 파동이 일어났습니다. 이는 두꺼운 철사 줄 쪽으로 진행하는데 두꺼운 철사 줄에 의해 '튕겨져' 되돌아 옵니다. 

이 때의 위상차는 변함이 없습니다.  이게 고정단 반사의 특징입니다.

2) 자유단 반사 : 반대로 두꺼운 철사 줄에서 얇은 실로 된 줄로 파동이 진행된다고 생각합시다. 그러면 직관적으로 생각했을 때, 두꺼운 철사 줄에서의 파동은 얇은 실로 된 줄로 진행은 합니다. 근데 여기서 일부는 다시 되돌아 오는데 이 때의 위상차는 '180도'만큼 차이가 납니다. 이게 자유단 반사의 특징입니다.

그래프 보시면 알겠지만 보강간섭은 파동1과 파동2가 서로 '같은 위상'상태일 때 결합하여 더 큰 진폭을 얻었습니다. 

상쇄간섭은 '반대 위상'일 때 서로 결합한 거라 거의 소멸상태로 남습니다.  이를 '이중 슬릿'을 통해 빛의 간섭을 스크린에 나타내보면 다음과 같습니다. 

보시면 어두운 부분에서는 오목하고  밝은 부분(파랑)에서는 볼록합니다.  위 그림에서 나왔듯이 실험의 이름은

영의 이중슬릿 실험입니다. 빛의 간섭에 대한 것인데요. 공식은 다음과 같습니다.

y_m은 스크린에서 가장 밝은 부분의 중심으로부터 떨어진 거리를 말합니다. 그러니까, 위 그림을 보면 원점O에서 가장 밝다고 표시되있죠? 이 밝은 부분을 중심으로 위아래로 밝,어,밝,어,밝,어... 이런 패턴이 반복됩니다. 만약 제가 중심으로부터 위에서 세번째 밝은 부분에 대한 값을 알고싶어요. 이 때 파장이랑 파장의 정수, 이중슬릿의 거리, 이중슬릿과 스크린 사이의 거리가 주어졌다면   중심과 세번째 사이의 거리를 구할 수 있겠죠?

영의 간섭 공식은 sin세타의 값과  R값을 비교했을 때 R이 매우 클 때 사용하는 공식입니다. 따라서, 세타의 크기를 무시할 수준이 안된다면 다음과 같은 공식이 나옵니다.

보강 간섭은 정수배고 상쇄간섭은 +1/2가 되있습니다. 왜 그러냐면 보강 간섭은 위상차가 0이지만 상쇄간섭은 위상차가 파이만큼 존재하기 때문입니다. 이에 대한 공식유도는 제가 다음에 추가로 자세히 알려드릴게요. 

오랜만에 광학 포스팅가겠습니다. 렌즈는 거울과 함께 나오는 애입니다. 제가 봤을 때, 사실 거울과 렌즈 파트는 연대에서 잘 출제안하는 비주류 유형으로 알고 있지만 그냥 지나칠 순 없죠 ㅎ 내용이 워낙 쉬워서 금방 익힙니다. 안하고 셤치러갔는데 딱 뜨면 남들 다 맞을 때 혼자 틀리니까 ㅠ

먼저 거울과 비교를 해봅시다.

- 볼록렌즈&오목거울  /  오목렌즈&볼록거울

지금 제가 2 그룹으로 묶어서 나눴습니다.  제가 어디서 들은 말인데 볼록렌즈랑 오목거울이랑 비슷하다고 하던데 사실 전 뭐가 비슷해서 저렇게 묶어놓은건지 잘은 모르겠습니다. 그래도 일단 저리 묶고 설명해보겠습니다.

오목거울의 특징을 간략히 살펴봅시다.

* 물체가 초점보다 뒤에 있을 경우에는 도립실상이 된다. 

* 물체가 초점에 위치할 때는 상이 맺히지 않는다.

* 물체가 초점보다 앞에 있을 경우에는 정립허상이 된다. 

* 거울방정식에 의하면 입사광선에 위치한 상의 경우는 양수로 표시하며, 출사광선에 위치한 상의 경우에는 음수로 표시한다. 

볼록렌즈의 특징은 다음과 같습니다.

* 거울과 달리 빛을 굴절시키는 것이 렌즈다. 그리고 볼록렌즈는 빛을 모아주기 때문에 '수렴형 렌즈'라고도 불린다.

* 볼록렌즈는 초점거리가 거울 뒤쪽에 있기 때문에 (출사광선) 초점거리는 항상 음수다. 

* 초점거리보다 뒤에 있다면 도립실상, 초점거리보다 앞에 있다면 정립허상, 초점거리에 있다면 상이 맺히지 않는다.

이제보니  마지막 문장때문에  오목거울과 비슷하다 묶은듯하네요. 쓰다보니 기억났습니다 ㅎㅎ;

이번에는 볼록거울의 특징을 봅시다.

* 볼록거울은 초점거리보다 앞에 물체가 있을 경우 정립허상이 된다.

* 초점거리는 거울의 뒤쪽에 있기 때문에 음수다.

오목렌즈의 특징

* 볼록렌즈와 달리 빛을 발산시킵니다. 그래서 실상은 존재하지 않으며 허상만 존재합니다. 

* 오목렌즈에서의 상은 허상이며, 입사광선 쪽에 맺히기 때문에 부호는 양수입니다.

렌즈방정식도 거울방정식과 동일합니다. 1/p + 1/q = 1/f = 2/R  이거랑 똑같습니다. 

뭐, 영 책에 얇은 렌즈에 대한 렌즈 제작자 공식이라는 개념이 나오긴 하는데 한번 봐두기만 하세요.

이 공식 역시 초점거리에 대한 공식입니다. 

1/f = (n-1)(1/R1-1/R2) 로 나타냅니다. n은 굴절률을 뜻하고 R1,R2는 각각의 곡률반지름을 뜻합니다. 

구면거울에서는 작도가 중요합니다. 블로그 포스팅 특성상 작도하는 과정을 담아내진 못해서 아쉽지만 최대한 이해시키도록 하겠습니다.

1) 오목거울

a) 물체가 초점거리보다 뒤에 있을 경우

- 위 그림은 현재 물체가 초점거리보다 뒤에 있을 경우를 나타낸 그림입니다. 보시면 작도에 의해 h' (거울에 의해 맺힌 상의 높이)가 거꾸로 맺힌게 보이네요.  이를 도립상이라고 하구요. 실제 빛에 의해 맺혀진 것이므로 실상입니다.

따라서 도립실상이 되고, 크기는 실제 상의 크기보다 작기 때문에 배율은 1보다 작습니다.

b) 물체가 초점거리보다 앞에 있을 경우

- 이 때는 상이 정립상이 됩니다. 대신, 실제 빛에 의해 맺힌것이 아니라서 허상이죠. 그렇기 때문에 정립허상이 되구요. 배율은 1보다 큽니다. 

자, 그럼 이거 정리해봅시다.

2) 볼록거울

- 볼록거울도 봅시다.

위 그림에서 점선 보이시나요? 거울에 의해 반사된 빛의 연장선인데 이것은 가상선에 의해 맺힌 것이기 때문에 허상이라고 부릅니다.  보시면 오목거울은 초점이 물체가 있는 쪽에 같이 위치해 있었습니다.  근데 볼록거울은 초점이 물체가 있는 곳과 반대쪽에 있습니다. 자, 이 쯤에서 이제 방정식을 하나 소개하도록 하겠습니다.

p는 물체가 거울로부터 떨어진 거리

q는 상이 거울로부터 떨어진 거리

R은 거울 반지름

f는 초점거리

이걸 의미합니다. 다만, 여기서 부호를 결정짓는게 조금 헷갈릴 수 있습니다. 한번 봅시다.

p를 봅시다. 거울 앞에 있는 경우는 부호를 '+'로 지정합니다. 이 거울 앞이란게 뭐냐면  입사광선이 있는 위치를 말합니다. 맨 위에 오목거울 그림보시면 물체는 현재 입사광선이 있는 위치에 있습니다. 따라서 이 물체는 거울로부터 '+p' 만큼의 거리에 위치합니다.  

q의 부호도 똑같습니다. 얘는 상의 위치에 따라 부호를 결정짓습니다. 오목거울을 보시면 거울상과 반사광선이 거울 앞에 존재합니다. 따라서 '+q' 라고 생각할 수 있겠습니다.

근데 볼록거울을 볼까요? 볼록거울은 q의 부호가 -라는 것을 알 수 있습니다. 왜?  반사광선과 다른 위치에 거울상이 맺혔으니까요. 

초점 거리를 봅시다. 볼록거울의 경우는 초점이 거울 뒤에 존재합니다. 왜냐하면 초점이라는 것은 빛이 모이는 점이라고 생각하시면 되는데  볼록거울 그림을 보면 거울상쪽에 빛이 모이고 있음을 알 수 있습니다. 따라서, 볼록거울에서 초점거리의 부호는 음수입니다.

오목거울은 뭐 초점거리가 양수란거 이해 단번에 되시죠?

아, 그리고 한가지. 만약 오목거울에서 물체가 거울로부터 떨어진 거리와, 초점 거리가 같다면  상은 맺히지 않습니다.