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▶ 크로네커 델타 (Cronecker Delta)

크로네커 델타는 다음의 정의를 가집니다. 

i성분과 j성분이 같으면 1, 아니면 0으로  이를 33행렬식으로 표현했을 때, 위와 같이 단위행렬의 모습을 띠고 있음을 보여줍니다.  크로네커 델타에 대한 또 다른 성질로는 두 성분의 위치가 바껴도 같은 값을 가진다는 것입니다. 

예를 들면  δ_ij에서 행렬의 위치를 (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3) (3,1) (3,2) (3,3)로 나타내었을 때, (1,2)=(2,1)라는 예시와 같이 같은 값을 가짐을 알 수 있습니다. 즉, 전치행렬과 기존의 행렬이 같다는 것을 의미합니다. 

한가지 더 특징이 있습니다. 이 크로네커델타에다가 벡터성분을 곱해주면 다음과 같은 성질을 가집니다.

이러한 값을 가지는데요. 첫번째 예시를 보면 델타j와 벡터j는 Dummy Index이기 때문에 사라지고 v_i만 남게 됩니다. 

이는 벡터뿐만 아니라 또 다른 크로네커 델타를 곱해줘도 같은 방법으로 적용됩니다. 

그러면 크로네커델타와 벡터의 곱을 통해  단위 행렬을 표현해보도록 하겠습니다. 

이렇게 나옵니다. 지금 첫번째 성질의 예시를 든 것입니다. 위에서 말했듯이 크로네커델타는 각 성분이 같으면 1 아니면 0이기 때문에 저러한 값이 나오구요. j와j성분은 같으므로 더미인덱스라서 v_i 형태로 도출되어 위처럼 단위행렬이 나오게 되었습니다. 

▶ 레비치비타 텐서 (Levi-Civita Tensor)

레비치비타 텐서는 입실론으로 표현합니다. 아래와 같은 형태를 띱니다.

레비치비타 텐서가 1을 가질 경우에는 i,j,k의 배열이 저런식이면 됩니다. 규칙이 보이시나요? 123에서 1을 맨 뒤로 옮기면 231이고 여기서 다시 한번 2를 맨 뒤로 옮기면 312입니다. 이걸 다시 3을 맨 뒤로 옮기면 처음의 123으로 돌아오게 됩니다. 정삼각형이 있고 위쪽 꼭짓점을 i , 오른쪽 꼭짓점을 j , 왼쪽 꼭짓점을 k라고 둘 경우 시계방향으로 회전하는 배열은 레비치비타 텐서가 1값을 가진다는 것을 알 수 있겠습니다. 

그러면 -1인 경우도 여러분들이 적용할 수 있을 것입니다. 

그러면 만약  ε의 배열이 123인 상태에서 12를 서로 바꿔줘 봅시다. 그러면 213이죠? 이렇게 한 번 자리를 바꿀때마다 부호가 바뀌게 되는 것도 알아두시면 좋습니다.

그러면 우리는 대체 왜 이걸 배워야하느냐? 이게 바로 벡터 외적과 내적의 시초이기 때문입니다. 

레비치비타 텐서를 통해서 벡터외적을 표현할 수가 있는데요. 

대충 이러한 모습입니다. 그러면 이걸 가지고 몇가지 예제를 증명해보고자 합니다. 

https://blog.naver.com/twonkang00/221973217939  

수정 2020_05_21  2번에 대한 증명은 사실 증명이라기보다는 그냥 값을 넣어서 진짜로 성립되나 안되나를 본 것이라서

증명대신 2번의 성질을 이용하여 증명을 해보는 문제가 위 주소에 있습니다. 제 네이버 블로그구요. 내용은 여기꺼와 거의 같습니다. 

비교판정법 역시 쉽습니다. 우리가 이미 다 배웠던거에요. 수리물리학에서 재탕중입니다. 물론 쿠머판정법, 라베판정법, 레전더리 판정법같이 처음보는애들도 있지만요!

비교판정법의 정의는 다음과 같습니다.

1) 두 양항수열 an , bn이 있다고하자. 이 둘의 양항급수 Σan ≤ Σbn을 만족한다하자.

이 때, Σbn이 수렴한다면 Σan도 수렴한다.

2) 1)번과 같은 조건 하에 Σan이 발산한다면 Σbn도 발산한다.

제가 바로 전 포스팅에 적은 Integral Test에서 발산하는 경우에 대한 증명을 할 때, 썼던 애죠?

비교판정법에 대한 증명은 역시 마찬가지로 단조수렴정리를 이용해보도록 하겠습니다. 

그렇죠?

발산하는 경우도 같습니다. 위와 같은 방법으로 증명을 시작하는데 부분합이 Sn 이미 발산하는 상태면 이보다 큰 Tn, T가 수렴할리가 없습니다.  이는 발산판정법을 통해서 보다 엄밀히 판단이 가능합니다. 부분합 Sn이 발산한다는 것은 Sn의 극한값이 0이 아니거나 존재하지 않음을 의미합니다. 따라서, 부분합Sn보다 큰 Tn, T는 극한값 역시 일단 최소 0보다는 무조건 커야한다는게 맞습니다. 따라서, 발산판정법에 의해 발산함을 알 수 있습니다. 

연고대 편입수학 카테고리의 급수파트에서 배운것과 동일합니다. 수리물리학의 첫단원은 급수판정법 문제들이 여럿나오는데 적분판정법과 같이 미적분학에서도 나온애들을 다루기도 합니다.  이번 시간은 복습한다는 마인드로 

적분판정법의 정의와 증명을 진행해보도록 하겠습니다. 

먼저 적분판정법의 정의입니다.

1) 주어진 정의역이 [1,∞)에서 연속이다.

2) 감소하는 수열이다.

3) 치역이 양수이다. 

위 세 조건을 만족시킨다면 다음과 같은 결과를 만족합니다.

그렇다면 적분판정법의 증명을 오랜만에 다시 적어보도록 하겠습니다.  두가지 케이스로 나눠 설명합니다.

위 케이스의 경우, a2+a3+a4+....+an의 값은 절대로 위 이상적분값을 넘길 수 없습니다. 정리하자면 이러하죠.

또 다른 케이스는 이제 발산할 때에 대한 증명이죠?

이번에는 반대되는 케이스입니다. 여러개로 잘개쪼갠 직사각형들의 Sum이 우리가 구하고자 하는 이상적분 값보다 항상 큽니다. 근데 만약 이상적분의 값이 무한이 나온다면  비교판정법에 의하여 여러개로 잘개쪼갠 직사각형의 Sum 역시 무한이여야합니다. 따라서 이거도 증명이 쉽게 되죠.

▶ 라비의 판정법

- 라비 판정법을 하기 전에 우리는 복습을 잠깐 하나 해야합니다.  비판정법과 근판정법에 대한 것인데요. 

이 두 판정법은, 크게 3가지 케이스로 나뉘어서 정의되어졌었습니다. 

그 중 한가지가 이러한 형태였습니다. 근 판정법도 마찬가지구요.  라비의 판정법은 위에 나온 비판정법이나 근판정법처럼 저렇게 비슷한 형태 조건일 가지고 있습니다. 

이따 다시와서 이어 적겠습니다.

* 교수님의 ppt가 잘못 적혀있어 수정합니다. 쿠머판정법에서 r,R에 대한 식에서 an/an+1 이부분 절댓값으로 씌어져있습니다.

이 판정법은 사실 미적분학에서 나오는 내용은 아니고 해석학이나 수리물리학에서 나옵니다. 근데  이름만 처음들었지 사실 그렇게 어렵진 않습니다. 먼저, 위 정의를 살펴보자면, 적당한 양항수열이 주어져있구요. 

r이라는 식에서 양수 값을 가진다면 수렴한다고 나와있습니다.  발산판정법에서는 다른 조건이 추가되어있네요. 수열 cn의 역수 꼴이 발산하는 형태라면  양항급수  an은 발산한다고 합니다.  먼저 수렴일 경우를 증명해보도록 합시다.

▶ 수렴인 경우의 증명

- 포인트는 단조수렴정리입니다. 

따라서, 앞에 수열이 수렴하는 수렴임을 알았으니 ca_n+1 얘도 비교판정법에 의해 수렴하는 수열입니다. 깔끔히 정리가 되었죠?

▶ 발산인 경우의 증명

- 발산인 경우는 R<0이므로  모든 n은 적당히 큰 자연수 N보다 크다고 할 때,

가 됩니다.  이 경우는 사실 직관적으로  발산임을 알 수 있지만, 주어진 조건으로 증명해야 합니다.