Crush on Study

클레로 정리 증명입니다. 교재에 나와있는 유명한 증명문제임에도 불구하고 굉장히 많은 학생분들이 틀렸던 문제입니다.

개인적으로 증명문제 나가리되면 남들과 똑같아진다고 생각되기 때문에  실수없이 푸시길 바랍니다. 연세대에서는 출제하는 계산문제는 다들 잘합니다. 증명에서 변별력 가르기 때문에 갈수록 증명문제 vs 계산문제는 거의 1:1비율로 출제될 것입니다.

클레로 정리의 정의는 다음과 같습니다.

- f가 영역 D 위에서 점(a,b)를 포함하는 함수라고 하자. 이 때, 함수 f가 연속인 2계 편도함수를 가진다면

f_xy (a,b) =f_yx (a,b)를 만족한다.

이제 이를 증명해보겠습니다.

증명문제는 이해가 안되면 진짜 여러번 반복해야합니다. 스튜어트에 나온 증명을 다 알고가신다면 솔직히 수학은 반복만 하시고 물리,화학에 투자하셔도 될겁니다 ㅎㅎ 파이팅!

편도함수는 독립변수가 2개 이상인 다변수함수에서의 도함수를 의미합니다. 독립변수가 2개인 경우로 두고 생각해보겠습니다.  이 때, 변수 x와 y에 대응하는 종속변수 z를 나타내는 표현으로는 z=f(x,y)이 있습니다.

그렇다면 우리가 일변수함수에서 y=f(x)를 미분시키면 dy/dx=f'(x)가 됬듯이  이변수함수에서도 똑같습니다.

단지 변수가 하나가 더 늘어나서  dz/dx , dz/dy 이렇게 두개가 된 것이죠. 이를 도함수로 표현하면 다음과 같습니다.

비슷하죠? 우리는 이제 저렇게 함수 f에다가 아래첨자로 x라고 쓴 것을 'x에 대해 편미분을 했다.' 그리고 y라고 쓴 것을

'y에 대해 편미분을 했다.' 라고 말하면 됩니다.

우리가 대학들어오기 전까지는 독립변수가 하나인 '일변수함수' 만 배워오곤 했습니다. 이게 무슨말이냐면

독립변수가 x라고 하고 y가 종속변수라고 하면 y=f(x) 이러한 꼴로 나타내는 것이 일변수함수다! 라고 말할 수 있습니다.

이제는 독립변수가 하나가 아닌 2개 그리고 3개를 배우려 합니다. 

3변수함수는 저기서 독립변수 z가 하나 더 추가된 것이라 생각하시면 됩니다. R제곱은 뭐냐는 분들이 있을것같아 미리 답합니다. 변수가 2개일 때 실수 전체 집합을 R^2 / 변수가 3개일 때의 실수 전체 집합을 R^3 라고 부릅니다.

등위곡선이란?

등위곡선은 우리가 흔히 지도에서 볼 수 있는 개념입니다. 아시다시피 등고선은 우리가 평면인 지도를 봐도 높이가 어느정도인지 대략적으로 추정이 가능합니다. 등위곡선이 바로 그러한 개념입니다. f(x,y)에 대응하는 종속변수 z의 값들을 나열해놓고 같은 값을 가지는 z끼리 선으로 이은 것입니다. 그렇기 때문에 아래와 같이 xy평면에 등위곡선이 그려지는 것입니다. 

이 등위곡선은 편도함수 파트의 가장 마지막인 라그랑주 승수법에 대해 증명할 때 사용되는 개념이므로 잘 알아두시길 바랍니다. 아마 연고대 편입수학에 나올만한 문제는 아니고 중간고사나 기말고사때 자주 접할 내용이긴 합니다.