대학수학/미적분학 - [벡터미분적분학]6 [벡터미적분학] 회전(Curl)과 발산(divergence) 회전과 발산은 간단합니다. 먼저 회전부터 봅시다. 회전은 Curl이라고 표현합니다. 만약 벡터장 F를 회전시킨다고 하면 Curl F라고 표현합니다. 이는 다음과 같은 표현이 성립됩니다. 2019. 11. 21. [벡터미적분학] 그린 정리 (Green's Theorem) 그린 정리는 선적분에서 약간 업그레이드된 버전입니다. 우리는 조각적으로 매끄러운 곡선 C라는 이름을 교재에서 한번쯤은 본적이 있을겁니다. 이 경우 우리는 곡선 C를 C1,C2,C3,C4,....의 합집합으로 표현하고 각각 구간을 나눠 일일이 계산해주곤 했습니다. 다만 특수한 조건의 경우에서는 우리가 이렇게 개고생할 필요가 없습니다. 그게 바로 그린정리가 성립할 조건입니다. 봅시다. 1) 단순폐곡선이여야 한다. 2) 양의 방향(반시계 방향)이여야 한다. 3) 연속된 1계 편도함수를 가져야 한다. 위 조건을 만족할 시에 우리는 다음과 같은 공식이 성립함을 알게 됩니다. 그린 정리에 대한 증명은 스튜어트 책에 나와있으나 그것은 D가 단순연결영역일때를 가정하고 하는 증명이기 때문에 사실 전체에 대한 증명이 아닙.. 2019. 11. 21. [벡터미적분학] 포텐셜 함수 & 보존적 벡터장 증명 오랜만에 벡터미적분학 쪽 글을 씁니다. 이전 시간에 다룬 선적분의 기본정리와 경로에 독립성의 연장선상입니다. 잠깐 복습 좀 해봅시다. 선적분의 기본정리는 함수 f가 t가 [a,b]의 범위 내에서 벡터함수로 정의됩니다. 그리고 주어진 매끄러운 곡선 C에서 함수 f가 기울기 벡터를 갖고 연속임과 동시에 미분가능한 2,3변수함수면 미적분 기본정리 1번정리같은 꼴로 나온다는 이론이였습니다. 그리고 경로에 독립은 경로와 무관하게 단순폐곡선 C에서의 선적분 값은 0값을 가진다는 말이였습니다. 보존적 벡터장의 정의는 경로에 독립이라는 전제조건 하에 주어진 벡터장 F가 연속인 1계 편도함수를 가지고 P,Q의 편미분값이 동일한 경우를 말합니다. 이를 간단히 정리하겠습니다. * 정의 제가 잘못적은 것일수도 있으니 교재 한.. 2019. 11. 21. [벡터미적분학] 경로의 독립성 증명 경로의 독립이라는 말 뜻은 경로에 상관없이 선적분 값이 같음을 의미합니다. 위 정의의 의미를 먼저 생각해본 다음 증명하도록 합시다. 1) 단순 닫힌 폐곡선 엌ㅋ 제가 정의 쓰다가 중복표현써버렸네여. 단순폐곡선입니다. 수학에서 말하는 '단순'이라는 것은 시점에서 종점으로 출발하는 경로가 있다고 합시다. 이 과정 속에서 단 한번도 꼬이지 않은 것을 말합니다. 만약 '무한대'꼴의 경로라고 한다면 단순곡선은 아니죠? 중간에 만나는 (꼬인지점) 점이 존재하니까요. 2) 폐곡선이란? 폐는 닫히다라는 의미로 'O' 이러한 꼴로 시점과 종점이 같은 경우를 말합니다. 그러면 위에 단순하다라는 말과 폐곡선을 종합해서 생각해보면 정의에서 말하는 단순 폐곡선 C는 임의의 원과 같다고 보시면 됩니다. 이제 증명하겠습니다. 이번.. 2019. 10. 30. [벡터미적분학] 선적분의 기본정리 선적분의 기본정리는 우리가 예전에 다룬 미적분학의 기본정리와 그 맥락이 같습니다. 정의부터 한번 봅시다. 증명은 의외로 미적분학의 기본정리할 때보다 간단하고 쉽습니다. 다변수함수에서 배운 연쇄법칙(체인룰)을 사용하는게 포인트입니다. 2019. 10. 30. [벡터미적분학] 선적분 (Line Integral) 선적분은 우리가 일변수함수에서 배웠던 곡선의 길이를 이용한 적분이라 할 수 있습니다. 우리가 적분공식을 유도하는 과정은 항상 이러한 순서를 거칩니다. 1) 주어진 전체 영역 혹은 전체 길이를 잘게 쪼개서 최소한의 오차가 되도록 만든다. 2) 잘게 쪼갠 영역 혹은 길이를 이제 독립변수 * 함숫값의 곱 형태로 나타낸다. 3) 잘게 쪼갠 영역 혹은 길이들을 전부 위 곱 형태로 나타냈다면 이제 그것을 모두 더한다. 4) 모두 더한 값을 극한으로 취하면 적분 공식이 된다. 이제 보니 더 이해안가네요 ㅎㅎ; 쉽게 생각해서 우리가 구분구적법 공부할때처럼 하시면 됩니다. 단일적분이든 이중&삼중적분이든 동일한 과정을 거쳐서 공식을 유도했잖아요? 선적분도 똑같습니다. 동일해요. 다만, 선적분부터는 항상 '매개변수'라는 것.. 2019. 10. 29. 이전 1 다음
