Crush on Study

회전과 발산은 간단합니다. 먼저 회전부터 봅시다. 회전은 Curl이라고 표현합니다. 만약 벡터장 F를 회전시킨다고 하면

Curl F라고 표현합니다. 이는 다음과 같은 표현이 성립됩니다.

그린 정리는 선적분에서 약간 업그레이드된 버전입니다. 우리는 조각적으로 매끄러운 곡선 C라는 이름을 교재에서 한번쯤은 본적이 있을겁니다. 이 경우 우리는 곡선 C를 C1,C2,C3,C4,....의 합집합으로 표현하고 각각 구간을 나눠 일일이 계산해주곤 했습니다.  다만 특수한 조건의 경우에서는 우리가 이렇게 개고생할 필요가 없습니다.  그게 바로 그린정리가 성립할 조건입니다. 봅시다.

1) 단순폐곡선이여야 한다.

2) 양의 방향(반시계 방향)이여야 한다.

3) 연속된 1계 편도함수를 가져야 한다.

위 조건을 만족할 시에 우리는 다음과 같은 공식이 성립함을 알게 됩니다.

그린 정리에 대한 증명은 스튜어트 책에 나와있으나 그것은 D가 단순연결영역일때를 가정하고 하는 증명이기 때문에 사실 전체에 대한 증명이 아닙니다. 그저 일부 특수 경우일때에 대한 증명이라 편입시험에서 그린정리를 증명하라는 문제가 나오진 않을겁니다.

따라서, 증명은 생략합니다. 여러분들이 기억하실 것은 위 3조건입니다. 그리고 Tip을 드리자면 저렇게 폐곡선 C에 대한 적분 기호 표시가 나오면 그린정리를 사용해도 된다는 뜻으로 받아들이셔도 됩니다.

그렇다면 3조건에 대한 간략한 설명을 하고 마치도록 하겠습니다.

먼저 1번 조건입니다. 단순폐곡선이 무엇인가? - 단순하다 라는 뜻은 시점 A에서 종점 B까지 연결된 선이 주어졌다고 할 때, '교차'하지 않는 선이라는 것을 의미합니다. 즉, 숫자 '8' 처럼 교차하는 지점이 없음을 의미합니다. '0' 처럼요.

그러면 폐곡선은 뭔가요? 폐곡선은 닫혀있다는 의미 그대로 시점과 종점이 같은 곡선을 의미합니다. 따라서 단순폐곡선은 숫자 '0'같은 곡선임을 의미합니다.

2번 조건입니다. 양의 방향이 뭔가요? 제가 괄호에 반시계 방향이라고 표시했습니다. 좀 더 설명을 드리자면 경로를 따라 움직일 때, 왼쪽에 영역 D가 존재한다면 양의 방향으로 움직이고 있다고 표현합니다. 다시 한번 숫자'0'을 예시로 들겠습니다. 0이라는 단순폐곡선 상에서 여러분이 반시계 방향으로 돈다고 합시다. 그렇다면 여러분의 왼쪽에는 '0'에 의해 유계된 영역인 D가 정의됩니다.

3번 조건입니다. 연속인 1계편도함수는 그냥 그 의미 그대로입니다. 이거는 왠만하면 다 들어맞는 조건으로 깔고가니까 여러분들은 1,2번만 고려해주셔도 됩니다.

오랜만에 벡터미적분학 쪽 글을 씁니다. 이전 시간에 다룬 선적분의 기본정리와 경로에 독립성의 연장선상입니다.

잠깐 복습 좀 해봅시다. 선적분의 기본정리는 함수 f가 t가 [a,b]의 범위 내에서 벡터함수로 정의됩니다. 그리고 주어진 매끄러운 곡선 C에서 함수 f가 기울기 벡터를 갖고 연속임과 동시에 미분가능한 2,3변수함수면 미적분 기본정리 1번정리같은 꼴로 나온다는 이론이였습니다.

그리고 경로에 독립은 경로와 무관하게 단순폐곡선 C에서의 선적분 값은 0값을 가진다는 말이였습니다.

보존적 벡터장의 정의는 경로에 독립이라는 전제조건 하에 주어진 벡터장 F가 연속인 1계 편도함수를 가지고 P,Q의 편미분값이 동일한 경우를 말합니다. 이를 간단히 정리하겠습니다.

* 정의 제가 잘못적은 것일수도 있으니 교재 한번 참고하시길 바랍니다. 필자는 티스토리 블로그에 쓰는 글들은 교재를 거의 참고하지 않고 씁니다 ㅠ  확실히 아는 것은 별말은 안하지만 이번 내용은 정의가 조금 기억이 안나네요!...

아무튼 위 정의를 증명해보도록 하겠습니다.

자, 이렇게 증명이 완료되었습니다. 보존적 벡터장이면 우리는 굳이 어렵게 매개변수화 시켜서 선적분을 구할 필요가 없게 됩니다. 지금까지 했던 총 3개의 증명을 통해 우리는 새로운 방법을 알았습니다. 포텐셜 함수 문제를 한번 풀어보도록 하겠습니다.

만약 이걸 그냥 선적분풀 때 매개변수화를 시키고자하면 Integral [F(r(t))*r'(t) dt] 이 난리를 쳐야할 겁니다. 물론 풀수는 있습니다. 다만 그 계산이 굉장히 더러워집니다. 그럴 때 여러분들은 주어진 벡터장이 '보존적'인지 아닌지를 먼저 판단해야합니다. 위 벡터장이 보존적인지 보기 위해서 P를 y에대해 편미분한 값과 Q를 x에대해 편미분한 값이 동일한지

보도록 합시다.

1) 먼저 P의 경우 y에 대해 편미분을 하면 2x가 나옵니다.

그리고 Q의 경우 x에 대해 편미분을 하면 역시 2x가 나옵니다. 따라서, 위 벡터장은 보존적입니다.

2) 보존임을 확인했다면 P는 델f에서 x에 대해 편미분을 한 f_x값과 동일함을 알 수 있습니다. 따라서, 역으로 편적분을 시도해보겠습니다. f_x을 편적분하면 3x+yx^2가 나옵니다. 이 때, 여기서 끝이 아니라 '적분상수'를 붙여줘야합니다.

그리고 그 적분상수는 g(y)가 됩니다. 왜냐? 상수일수도 있지만 y에 대한 함수일 경우도 고려해야죠.

만약 f가 3x+yx^2+y라고 합시다. 여기서 x에 대한 편미분을 하면 3+2xy가 나옵니다. 함수 f가  3x+yx^2+1일 경우도

마찬가지입니다. 이해가시죠?

3)  f = 3x+yx^2+g(y)라 합시다. 이를 이제 y에 대해 편미분을 하겠습니다. 그러면 x^2+g'(y)가 됩니다.  이를 위에 Q와 비교해봅시다. g'(y)=-3y^2여야 함을 알 수 있습니다. 따라서, 우리는 f = 3x+yx^2-y^3+C임을 구했습니다.

이게 포텐셜 함수를 구하는 방법입니다. 주어진 문제에서는 포텐셜 함수까지만 찾으라 했으나, 선적분 값을 구하라 한다면 우리가 찾은 포텐셜 함수 f에서 '선적분의 기본정리'를 이용하여 그 값을 구해주면 끝입니다. 이거 반드시 기억하시길 바랍니다. 편입시험뿐만 아니라 중간,기말고사에서 벡터미적분학이 나오면 그린정리,스톡스정리,발산정리와 함께 더불어 가장 중요한 핵심이라 말씀드릴수 있습니다.

경로의 독립이라는 말 뜻은 경로에 상관없이 선적분 값이 같음을 의미합니다. 위 정의의 의미를 먼저 생각해본 다음 증명하도록 합시다. 

1) 단순 닫힌 폐곡선 엌ㅋ 제가 정의 쓰다가 중복표현써버렸네여. 단순폐곡선입니다. 수학에서 말하는 '단순'이라는 것은 시점에서 종점으로 출발하는 경로가 있다고 합시다. 이 과정 속에서 단 한번도 꼬이지 않은 것을 말합니다. 만약 '무한대'꼴의 경로라고 한다면 단순곡선은 아니죠? 중간에 만나는 (꼬인지점) 점이 존재하니까요. 

2) 폐곡선이란? 폐는 닫히다라는 의미로 'O' 이러한 꼴로 시점과 종점이 같은 경우를 말합니다. 그러면 위에 단순하다라는 말과 폐곡선을 종합해서 생각해보면 정의에서 말하는 단순 폐곡선 C는  임의의 원과 같다고 보시면 됩니다.

이제 증명하겠습니다.

이번 파트는 작년 (2019학년도) 연대 수학 기출에 그대로 출제되었던 문제입니다. 이번에도 다시 나올 가능성은 낮지만 기출은 항상 돌고돌기 때문에 언젠가 이 글을 보시게 될 미래의 편준생분들을 위해 정리해서 남겨두었습니다.)

선적분의 기본정리는 우리가 예전에 다룬 미적분학의 기본정리와 그 맥락이 같습니다. 정의부터 한번 봅시다.

증명은 의외로 미적분학의 기본정리할 때보다 간단하고 쉽습니다. 다변수함수에서 배운 연쇄법칙(체인룰)을 사용하는게 포인트입니다. 

선적분은 우리가 일변수함수에서 배웠던 곡선의 길이를 이용한 적분이라 할 수 있습니다. 우리가 적분공식을 유도하는 과정은 항상 이러한 순서를 거칩니다.

1) 주어진 전체 영역 혹은 전체 길이를 잘게 쪼개서 최소한의 오차가 되도록 만든다.

2) 잘게 쪼갠 영역 혹은 길이를 이제 독립변수 * 함숫값의 곱 형태로 나타낸다.

3) 잘게 쪼갠 영역 혹은 길이들을 전부 위 곱 형태로 나타냈다면 이제 그것을 모두 더한다.

4) 모두 더한 값을 극한으로 취하면 적분 공식이 된다. 

이제 보니 더 이해안가네요 ㅎㅎ; 쉽게 생각해서 우리가 구분구적법 공부할때처럼 하시면 됩니다. 단일적분이든 이중&삼중적분이든 동일한 과정을 거쳐서 공식을 유도했잖아요? 선적분도 똑같습니다. 동일해요. 다만, 선적분부터는 항상

'매개변수'라는 것을 고려해야해서 귀찮을 뿐입니다. 

선적분은 기다란 곡선을 적분시켰을 때 얻는 값을 말하며 스칼라장 선적분과 벡터장 선적분으로 나뉩니다. 이게 곧 물리에서 의미하는 '일' 이 되는데요. 일은 아시다시피 힘에다가 거리를 곱하면 그게 일이 잖습니까? 수학에서 말하는 힘은 우리가 선적분시켜야할 함수를 의미합니다.  그러면 거리는? 바로 dx, dy같은 미분소들을 의미합니다. 선적분에서는 dt같이 시간에 대한 매개변수소를 의미하죠. 그러면 공식을 한번 봅시다.

스칼라 선적분은 솔직히 연고대에서는 안나올겁니다. 저건 편입수학 내용이고  연고대에서는 벡터장에서 증명문제 위주로 내거나 그럴거에요.  아무튼 스칼라 선적분에서 뒤에 루트로 표기된 것 보시면 꽤 익숙한 그림 아닌가 싶죠?

호의 길이를 매개변수와 시켜서 나타낸 것입니다.  그리고 벡터장 선적분에서 r(t)는 벡터함수를 의미합니다. 

벡터함수는 뭐 어렴풋이 알고 벡터미적분학 푸시는분들이 있을텐데  이 단원이 다 끝나면, 그러니까 발산정리까지 포스팅 마치고 나서  조금씩 쓰겠습니다.