Crush on Study

급수파트의 마지막 단원입니다. 테일러의 나머지 정리입니다. 이는 연세대학교 2016학년도 편입수학 2번에 증명문제로 출제되었었는데요. 역대 증명문제 중 가장 어려운 문제로 나온 파트였습니다. 사실 증명 자체만 묻는 문제였다면  알고만 계셨으면 쉬운 문제였습니다. 다만, 단순히 책에 나온 증명을 묻는게 아니라 '롤의 정리' ,'평균값 정리'를 사용해서 증명하라고 했었기 때문에  이 문제는 거의 백지로 낸 수험생들이 굉장히 많았습니다.

감히 예상하지만 이런 수준의 문제가 다시 나온다면 마찬가지로 그 문제를 제외하고 푸셔도 될겁니다... 만점이 100점이 아니라 생각하세요 ㅋㅋ ㅠㅠㅠ

일단 우리는 테일러 나머지정리의 일반적인 증명을 시도해봅시다.

두 급수는 비슷하지만 집합의 개념으로 설명하자면 매클로린 급수는 테일러 급수의 부분집합입니다. 그 이유가 매클로린 급수는 테일러 급수의 특정 경우에서의 급수이기 때문인데요. 매클로린 급수는 다음과 같은 정의를 띱니다.

함수 f의 위첨자로 쓰인 (n)은 미분의 횟수를 의미합니다. 위문제에 대한 적절한 예시를 하나 들어보겠습니다.

f(x)=sinx일 경우 이 함수를 급수로 어떻게 바꾸는지 보도록 합시다.

매클로린 급수는 위에 삼각함수를 포함하여 총 7개의 경우로 나뉩니다. 물론 7개만 있다는게 아니고 가장 일반적인 경우라 할 수 있습니다. 또한, 매클로린 급수는 멱급수에서 했던 것처럼 항별적분, 항별미분이 가능하며 비 판정법을 통해 수렴반경과 수렴구간을 구하는 것도 가능합니다. 위에 제가 보여드린 sinx의 매클로린 급수에 비 판정법을 적용하면 여러분들이 수렴구간과 수렴반경을 구할 수 있을겁니다. 그 부분은 제 블로그에 있는 비판정법 포스팅을 보고 따라해보시면 됩니다.

* 교재를 참고하지 않고 작성한거라 교재에 나온 것과 다를 수 있습니다. 예를 들면 n=1이 아니라 n=0으로 둘 때라든가..??  어쨌든 위 7개 알고계시면 매클로린 급수는 다 풀어 낼 수 있습니다. 여러분들이 주의하셔야할 것은 7번입니다. 7번이 제일 까다로운 경우인데 저것을 '이항급수'라고 합니다. 위에 쓴 대로 푸시면 되는데 계산이 복잡해가지고 실수하기 좋은 유형입니다. 그만큼 출제확률도 7개 중에서 상당히 높은 편입니다. 이항급수를 푸실 때 중요한 것은 앞에 반드시 숫자가 '1' 여야 한다는 것입니다. 1번 예시도 마찬가지입니다. 숫자가 '1'로 맞춰줘야 편합니다. 예를 들어서 1/2+x라 하면요. 이를 2[1/(1+x/2)]로 해줘서 풀라 이겁니다.

마지막으로 테일러 급수입니다. 테일러 급수의 일반적인 유형은 이러합니다.

테일러 급수는 흔히 테일러의 N차 다항식으로도 불립니다. 그래서 T_n(x) 이런 형태로 표기하기도 합니다.

멱급수는 거듭제곱 급수라고도 불립니다. 형태는 다음과 같습니다.

이 멱급수와 함께 나오는 중요한 개념이 바로 수렴반지름입니다. 위 조건을 보시면 x=a에서 수렴하는 경우는 사실 당연합니다. 0이 되기 때문이죠. 그러면 사실 상 2번의 경우가 멱급수를 수렴하는 급수로 만들 유일한 경우인데요. 

비판정법을 사용하게 되면 여러분도 알다시피  x에 대한 함수가 '절댓값'이 씌워져서 나오게 됩니다.

이 절댓값을 벗기면 구간이 형성되게 되는데 이 구간을 '수렴구간' 이라 부르구요. 이 구간에 대한 반경을 

'수렴반지름' 혹은 수렴반경이라고 부릅니다. 

그러면 수렴반지름에 관한 문제를 하나 풀어볼까요?  

위 급수 역시 멱급수 형태입니다. 그렇죠? 그러면 위 급수가 수렴할 조건을 맞추려면  비판정법을 사용하여 L<1이 되도록 해야할 것입니다. 그러면 풀이과정을 보시죠.

근 판정법의 정의는 다음과 같습니다.

비 판정법과 그 모습이 비슷하죠?  여러분들이 급수파트 공부할 때 비판정법까지는 책보면서 증명하실수 있으셨을텐데 

근 판정법은 증명이 안나와있고 뒤에 연습문제로 실려있었습니다. 그래서 네이버 블로그에다 근 판정법 포스팅해달라는 말이 있었던 기억이 나네요.

근 판정법 증명도 비판정법과 유사합니다. 한번 보시죠.

비판정법은 이 뒤에 나올 멱급수를 공부할 때 유용하게 쓰이는 방법입니다. 그렇기 때문에 비판정법을 이용하여 수렴&발산을 판정하는 것보단 멱급수와 함께 사용되는 경우가 많은데요. 그래도 증명법을 알고 가도록 합시다.

절댓값 기호가 조금 이상해보이죠? 갑자기 한글 수식입력을 하면 이상한 문자가 나와서 한글 'ㅣ' 이거로 써넣었습니다 흑흑흑흑

일단, 위 비판정법에서 중요한 포인트는 절댓값입니다. 만약 절댓값을 씌우기 전에 그 수열이 수렴을 했습니다. 근데 그 수열에다 이번엔 절댓값을 씌웠습니다. 그 때도 똑같이 수렴하면 그 수열은 '절대수렴'한다고 말할 수 있습니다.

반대로, 절댓값 씌우기 전에 어떤 수열이 발산한다고 합시다. 근데 그 수열에다 절댓값을 씌우고 다시 판정해봤더니

수렴을 합니다. 이 경우를 '조건부수렴' 이라고 말합니다. 대표적인 조건부수렴은 삼각함수들, 교대급수들이 되겠습니다.

비판정법 증명하겠습니다.

매번 쓰면서 느낀 것이지만 증명문제 내기에는 급수만한 파트가 없는 듯합니다. 급수에 나오는 모든 공식은 증명할줄 알아야 합니다!

교대급수는 양수, 음수가 번갈아가면서 나오는 진동함수의 그래프상태를 의미합니다. 그리고 그 진동함수는 마치 용수철의 단조화운동과 같은 모습인데 '감쇠 운동' 으로 비유하면 적절할 것 같군요. 이게 무슨 말이냐구요?  결국 극한값이 존재하는 방향으로 간다. 즉, 수렴한다는 의미입니다. 

이것을 교대급수 판정법이라 합니다. 정의를 한번 보겠습니다.

위 판정법에 대한 증명 역시 당연히 해드려야겠죠?

작년 기출에 적분판정법과  p급수 판정법에 대한 증명문제가 출제되었었습니다. 따라서, 올해에도 급수 파트 쪽에 증명문제가 나온다면 저는 교대급수 증명문제와 그에 따른 합의 추정문제가 세트로 나오지 않을까라는 생각도 듭니다.

급수 쪽에서 안나올 수가 없으니 증명법들 잘 익혀가시길 바랍니다.

극한비교판정법은 이전에 포스팅했던 비교판정법이 통하지 않을 때 쓰는 방법입니다. 비교판정법의 정의를 잠깐 적어보겠습니다. 

1) 두 양항수열 a,b의 부등식이 a<=b이고 급수도 똑같은 부등식을 만족한다고 하자. 이 때, 급수 b가 수렴하면 급수 a도 수렴한다.

2) 위와 똑같은 조건 하에서 급수 a가 발산하면 급수 b도 발산한다.

이거였는데 만약 급수 a가 수렴하면 급수 b는? 어찌될까요? 수렴하는지 발산하는지 모릅니다. 둘다 해당되거든요.

반대로 급수 b가 발산하면? 급수 a 역시 수렴하는지 발산하는지 모릅니다. 둘다 되니까요!

따라서 이러한 경우에 쓰는 방법이 극한비교판정법입니다. 정의는 다음과 같습니다.

증명하겠습니다. 

먼저 비교판정법의 정의부터 봅시다. 

비교판정법에서는 약간의 수학적 감각이 필요합니다. 왜냐하면 문제를 풀 때, 급수 하나 띡 주고 이거 비교판정법으로 수렴인지 발산인지 판정해봐~ 이러면요. 우리는 급수 an만 알고 있지, bn은 모른단 말입니다. 이 때, bn을 우리가 적당한 녀석을 찾아서 수렴하는지 발산하는지 판정해줘야합니다. 그래서 처음에는 비교판정법을 조금 어려워 하는 분들이 있습니다. 제가 드릴 수 있는 말은 연습이 답이다라는 것 뿐이네요. 일단 증명 시작하겠습니다. 

보시면 급수의 수렴성을 증명할 때, 항상 쓰이는게 단조수렴정리죠? 단조수렴정리가 포인트인데  2005년에 이 단조수렴정리를 증명하라는 문제가 출제된 적이 있었습니다. 사실 단조수렴정리는 미적분학에 나오긴 하나 해석학내용이라고 들었습니다. 그래서인지 2005년 이후로 나오지 않는 추세인데  혹시 모르니 바로 다음 포스팅에서 단조수렴정리를 증명하도록 하겠습니다.