대학수학/미적분학 - [급수]12 [급수] 테일러의 나머지 정리 (=테일러 부등식) Taylor's inequality 급수파트의 마지막 단원입니다. 테일러의 나머지 정리입니다. 이는 연세대학교 2016학년도 편입수학 2번에 증명문제로 출제되었었는데요. 역대 증명문제 중 가장 어려운 문제로 나온 파트였습니다. 사실 증명 자체만 묻는 문제였다면 알고만 계셨으면 쉬운 문제였습니다. 다만, 단순히 책에 나온 증명을 묻는게 아니라 '롤의 정리' ,'평균값 정리'를 사용해서 증명하라고 했었기 때문에 이 문제는 거의 백지로 낸 수험생들이 굉장히 많았습니다. 감히 예상하지만 이런 수준의 문제가 다시 나온다면 마찬가지로 그 문제를 제외하고 푸셔도 될겁니다... 만점이 100점이 아니라 생각하세요 ㅋㅋ ㅠㅠㅠ 일단 우리는 테일러 나머지정리의 일반적인 증명을 시도해봅시다. 2019. 11. 20. [급수] 매클로린 급수(Maclaurin's series)& 테일러 급수(Taylor's series) & 이항급수 (Binomial series) 두 급수는 비슷하지만 집합의 개념으로 설명하자면 매클로린 급수는 테일러 급수의 부분집합입니다. 그 이유가 매클로린 급수는 테일러 급수의 특정 경우에서의 급수이기 때문인데요. 매클로린 급수는 다음과 같은 정의를 띱니다. 함수 f의 위첨자로 쓰인 (n)은 미분의 횟수를 의미합니다. 위문제에 대한 적절한 예시를 하나 들어보겠습니다. f(x)=sinx일 경우 이 함수를 급수로 어떻게 바꾸는지 보도록 합시다. 매클로린 급수는 위에 삼각함수를 포함하여 총 7개의 경우로 나뉩니다. 물론 7개만 있다는게 아니고 가장 일반적인 경우라 할 수 있습니다. 또한, 매클로린 급수는 멱급수에서 했던 것처럼 항별적분, 항별미분이 가능하며 비 판정법을 통해 수렴반경과 수렴구간을 구하는 것도 가능합니다. 위에 제가 보여드린 sinx의.. 2019. 11. 20. [급수] 멱급수 (Power series)& 수렴반지름 (Radius of convergence) 멱급수는 거듭제곱 급수라고도 불립니다. 형태는 다음과 같습니다. 이 멱급수와 함께 나오는 중요한 개념이 바로 수렴반지름입니다. 위 조건을 보시면 x=a에서 수렴하는 경우는 사실 당연합니다. 0이 되기 때문이죠. 그러면 사실 상 2번의 경우가 멱급수를 수렴하는 급수로 만들 유일한 경우인데요. 비판정법을 사용하게 되면 여러분도 알다시피 x에 대한 함수가 '절댓값'이 씌워져서 나오게 됩니다. 이 절댓값을 벗기면 구간이 형성되게 되는데 이 구간을 '수렴구간' 이라 부르구요. 이 구간에 대한 반경을 '수렴반지름' 혹은 수렴반경이라고 부릅니다. 그러면 수렴반지름에 관한 문제를 하나 풀어볼까요? 위 급수 역시 멱급수 형태입니다. 그렇죠? 그러면 위 급수가 수렴할 조건을 맞추려면 비판정법을 사용하여 L 2019. 10. 31. [급수] 근 판정법 증명 (Root Test) 근 판정법의 정의는 다음과 같습니다. 비 판정법과 그 모습이 비슷하죠? 여러분들이 급수파트 공부할 때 비판정법까지는 책보면서 증명하실수 있으셨을텐데 근 판정법은 증명이 안나와있고 뒤에 연습문제로 실려있었습니다. 그래서 네이버 블로그에다 근 판정법 포스팅해달라는 말이 있었던 기억이 나네요. 근 판정법 증명도 비판정법과 유사합니다. 한번 보시죠. 2019. 10. 30. [급수] 비판정법 증명 (Ratio Test) & 절대수렴과 조건부수렴 비판정법은 이 뒤에 나올 멱급수를 공부할 때 유용하게 쓰이는 방법입니다. 그렇기 때문에 비판정법을 이용하여 수렴&발산을 판정하는 것보단 멱급수와 함께 사용되는 경우가 많은데요. 그래도 증명법을 알고 가도록 합시다. 절댓값 기호가 조금 이상해보이죠? 갑자기 한글 수식입력을 하면 이상한 문자가 나와서 한글 'ㅣ' 이거로 써넣었습니다 흑흑흑흑 일단, 위 비판정법에서 중요한 포인트는 절댓값입니다. 만약 절댓값을 씌우기 전에 그 수열이 수렴을 했습니다. 근데 그 수열에다 이번엔 절댓값을 씌웠습니다. 그 때도 똑같이 수렴하면 그 수열은 '절대수렴'한다고 말할 수 있습니다. 반대로, 절댓값 씌우기 전에 어떤 수열이 발산한다고 합시다. 근데 그 수열에다 절댓값을 씌우고 다시 판정해봤더니 수렴을 합니다. 이 경우를 '조.. 2019. 10. 28. [급수] 교대급수 판정법 (Alternating Series Test) 증명 교대급수는 양수, 음수가 번갈아가면서 나오는 진동함수의 그래프상태를 의미합니다. 그리고 그 진동함수는 마치 용수철의 단조화운동과 같은 모습인데 '감쇠 운동' 으로 비유하면 적절할 것 같군요. 이게 무슨 말이냐구요? 결국 극한값이 존재하는 방향으로 간다. 즉, 수렴한다는 의미입니다. 이것을 교대급수 판정법이라 합니다. 정의를 한번 보겠습니다. 위 판정법에 대한 증명 역시 당연히 해드려야겠죠? 작년 기출에 적분판정법과 p급수 판정법에 대한 증명문제가 출제되었었습니다. 따라서, 올해에도 급수 파트 쪽에 증명문제가 나온다면 저는 교대급수 증명문제와 그에 따른 합의 추정문제가 세트로 나오지 않을까라는 생각도 듭니다. 급수 쪽에서 안나올 수가 없으니 증명법들 잘 익혀가시길 바랍니다. 2019. 10. 28. 이전 1 2 다음
