[급수] 멱급수 (Power series)& 수렴반지름 (Radius of convergence)

멱급수는 거듭제곱 급수라고도 불립니다. 형태는 다음과 같습니다.

이 멱급수와 함께 나오는 중요한 개념이 바로 수렴반지름입니다. 위 조건을 보시면 x=a에서 수렴하는 경우는 사실 당연합니다. 0이 되기 때문이죠. 그러면 사실 상 2번의 경우가 멱급수를 수렴하는 급수로 만들 유일한 경우인데요. 

비판정법을 사용하게 되면 여러분도 알다시피  x에 대한 함수가 '절댓값'이 씌워져서 나오게 됩니다.

이 절댓값을 벗기면 구간이 형성되게 되는데 이 구간을 '수렴구간' 이라 부르구요. 이 구간에 대한 반경을 

'수렴반지름' 혹은 수렴반경이라고 부릅니다. 

 

그러면 수렴반지름에 관한 문제를 하나 풀어볼까요?  

위 급수 역시 멱급수 형태입니다. 그렇죠? 그러면 위 급수가 수렴할 조건을 맞추려면  비판정법을 사용하여 L<1이 되도록 해야할 것입니다. 그러면 풀이과정을 보시죠.