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▶ 2계 제차 선형상미분방정식

- 2계라는 것은 도함수가 몇번 시행됐냐를 의미합니다. 즉, 이계도함수임을 의미하는데요. 2계 선형상미분방정식은

다음과 같은 형태를 띱니다.

위의 식입니다. 1계 선형상미분방정식이랑 똑같죠?  우변에 r(x)=0이면 제차고 아니라면 비제차란 것까지!

이 2계 선형상미분방정식은  하나의 성질에 의해 해를 구하는 과정을 관통합니다. 바로 아래를 보시죠.

위와 같이 나온 일반해를 봅시다. y=y1+y2이런 꼴이죠? 물론 앞에 계수가 따로 붙어야 우리가 아는 일차결합이 됩니다. 

y=c1y1+c2y2 이런꼴이 일차결합인데요. 여기서 만약 c1y1+c2y2=0이라 합시다. 여기서 c1,c2가 둘다 0이라면 일차독립이구요. 만약 둘 중 하나라도 0이 아니라면 일차종속이 됩니다. 

▶ 론스키안 행렬식

- 론스키안 행렬식은 2계 혹은 그 이상의 n계 제차 선형상미분방정식에서 주어지는 각각의 함수 y1,y2,....yn 들을 

행렬화시켰을 때, 행렬의 값이 0이 아니라면 '일차 독립'임을 보이는 방법입니다.  그러면 이제 아래에 론스키안 행렬식을 나타내는 방법에 대해 살펴보겠습니다.

이런 꼴로 나타나는 것입니다. 

비선형 미분방정식은 앞에서 포스팅했던 선형 미분방정식의 형태 y'+p(x)y=q(x)꼴이 아닌 다른 모든 상태를 말합니다. 

그 중에서 특히 오늘 할 베르누이 방정식은 비선형 미분방정식의 특수 유형입니다. 아래의 유형을 봅시다.

공업수학1에서 나오는 소금물 문제라하면 물탱크가 주어져있고, 이 물탱크 안에 몇리터의 소금물이 있다. 유입되는 물의 양은 분당 몇 L고, 균질하게 잘 섞인 뒤 유출되는 물의 양은 분당 몇 L다~  x분 뒤에 물탱크에 남아있는 소금의 양은 몇인가!  이런 식으로 정형화되어있는 문제입니다.  공식을 먼저 세워보도록 하겠습니다.

 이런식으로 세울 수 있습니다. 간단해요. 이제 예제를 하나 풀어보도록 합시다.

공업수학은 원래 이해보단 그냥 반복해서 푸는게 좋습니다.  보시죠

일단 소금의 유입량을 알아봅시다. 리터당 3kg의 소금이 들어온다고 하네요. 근데 분당 15L씩 물탱크안에 들어오고 있으니 총 소금의 유입량은 45kg라고 보면 되겠습니다. 쉽죠? 그 다음 유출량을 봅시다. 우리는 유입된 이후로 물탱크에 있는 소금의 양을 정확히 알수는 없습니다. 왜냐? 고정된 상태가 아니라 연속인 상태이기 때문에 그렇습니다.  그래서 

유출량의 경우는 항상 다음과 같이 접근하면 됩니다. 아주 정형화되있는 접근법입니다. 

그러면 끝입니다. 이게 그냥 우리가 알고자 했던 모델이에요. 쉽죠? 문제 하나만 더 풀어봅시다. 이번엔 모델을 세운거에서 그친게 아니라 시간이 흐른 뒤 실제로 남아있는 물질의 양은 어느정도인지 구하잔거죠.

당황하지말고 문제부터 천천히 봅시다. 일단 1세제곱미터 1리터와 같아요. 그리고 호수에 담겨있는 물의 양 10000에서 0.1%정도가 오염물질의 양이니까 10이 값이 되겠습니다. 그렇죠? 유입량부터 봅시다. 오염물질을 유입시킨다는건 문제에서 보이지 않습니다. 그러면 유입량은 0입니다. 그쵸? 이제 유출량을 봅시다. 연속적인 상황이니까, 오염물질의 양을 y로 두고 풀어봅시다. 아래를 봐주세요.

이해 가시죠?

▶ 1계 선형미분방정식

- 여기서 말하는 1계는 지수가 1승인 것을 뜻합니다. 그리고 선형미분방정식이라는 것은 차수가 순차적으로 나열되어있다는 말입니다. 한번 보도록 합시다. 

이런 꼴로 나옵니다. 보세요. 1계도함수, 함수 이런꼴이죠? 더 나아가서 아래같은것도 선형입니다.

무슨 느낌인지 아시겠죠? 이 1계 선형미분방정식의 일반해를 구하는 공식은 정해져있습니다. 그냥 외우시면 되요

RL회로랑 RC회로도 위 공식을 통해서 구할 수 있습니다. 물리학에서 나오는 RL과 RC와 똑같지만 공업수학에서는 위 공식을 사용해서 전류나 전하값을 구하더라구요. 

▶ RL회로 공식

위와 같은 식으로 나옵니다. 전류와 저항 그리고 인덕턴스, 기전력에 대한 식으로 이루어져있는데요. 보시면 전류에 대한 1계 선형미분방정식이라는 것을 알 수 있습니다. 그러면 전류의 값을 묻는다면 위에 1계 선형미분방정식의 일반해 공식을 쓰면 되겠죠?

▶ RC회로 공식

RC회로도 똑같습니다. RL회로와 마찬가지로 키르히호프 법칙에 근거하여 나온 공식입니다. 전류는 단위 시간 당 전하의 흐름을 의미하므로 I를 dQ/dt로 바꿔줘서 대체했더니 Q에 대한 1계 선형미분방정식이 나왔죠?

이번 포스팅의 핵심은 1계 선형미분방정식의 일반해 공식을 알고있느냐 없느냐의 차이입니다. 

▶ 완전상미분방정식

- 미적분에서 함수 f(x,y)가 연속인 1계 편도함수를 가진다는 조건이 전제가 되어야 합니다. 이를 통해

다음과 같은 식이 성립함을 알 수 있습니다.

완전상미분방정식은 푸는 방법이 정해져있습니다. 지금부터 절차를 알려드릴테니 숙지하고 예제를 함께 풀어보면서 

익혀봅시다.

1) M(x,y)를 y에 대해 편미분하자. N(x,y)는 x에 대해 편미분하자. 이 때, 이 둘의 편미분 값이 동일하다면

완전상미분방정식이라는 의미이다.

2) f_x=M(x,y)dx에서 x에 대해 편적분을 시도하자. f_y=N(x,y)dy에서 y에 대해 편적분을 시도해도 좋다. 둘 중 아무거나 택해서 편적분을 시도하자. 그러면 그 편적분함수는 f가 된다. 

3) f_x를 편적분했다고 하자. 그러면 편적분함수 f가 나올 것이고, 이 함수를 다시 y에 대해 편미분을 해보자.

이 때, N(x,y)과 같은지 보자. 

4) 적절한 적분상수를 대체해서 구했으면 완성된 편적분함수 f가 나온다. 이것이 우리가 구하고자 하는 퍼텐셜 함수f이다.  가끔 초기값이 주어지고 특수해를 구하라는 문제가 나올텐데 퍼텐셜 함수 f를 구하기만 했다면 무리없이 구할 수 있다.  

위 절차대로 접근하면 됩니다. 크레이직 책에서 예제를 하나 들어서 풀어보겠습니다.

이런 절차대로 풀어나가면 됩니다. 쉽죠?

▶ 적분인자

- 적분인자는 완전상미분방정식이 아닌 경우, 완전상미분방정식으로 되도록 도와주는 함수를 말합니다.

적분인자를 구하는 방법도 정해져있습니다. 바로 공식을 올려두겠습니다.

둘 중 적절한 R을 구한 뒤에 익스퍼넨셜 함수의 지수적분으로 둡니다. 이를 F라 부르고 이게 우리가 원하는 적분인자입니다. 그 다음에 구하고자 하는 상미분방정식에다가 곱해줍니다. 그 다음부터는 위에 완전상미분방정식을 푸는 절차대로 진행하시면 됩니다. 그냥 과정 하나가 맨 앞에 추가된 것 뿐입니다. 

얘도 예제 하나 풀어봅시다.

▶ 뉴턴의 냉각법칙

뉴턴의 냉각법칙은 별거 없습니다. 시간에 따른 온도의 변화율을 개념으로 하는데요. 

다음과 같이 표현합니다. T_0는 실내 온도 혹은 우리가 관심을 두는 물체를 둘러싼 주위의 온도정도로 알아두시면 됩니다. 고정된 값입니다!  우리가 열역학을 배울때보면, 서로 다른 온도를 가진 두 물체 혹은 공간이 존재하면 열평형을 향해 달려가지 않습니까? 그걸 표현하는 식이 뉴턴의 냉각법칙입니다. k는 비례식을 방정식으로 표현하기 위한 상수에요.

그러면 dT와 dt를 분리시켜서 공식을 세울 수 있겠죠?

이게 일반적인 식입니다. 뭐 여기서 크게 벗어나는 것 같지는 않습니다.  문제를 하나 풀어보도록 합시다. 

이럴 때는 먼저 조건을 봅시다. 고정된 값은 22도 (방의 온도)죠? 얘는 T_0에 대입하면 됩니다. 그리고 초기의 온도계가 가리키는 눈금은 5도이므로 t=0일 때, T=5 , T_0=22이므로  적분상수 c의 값을 구할 수 있습니다. 

잘 따라오셨으면 c=-17인 것을 알 수 있을겁니다. 

그 다음 1분 후에 변화된 온도를 봅시다. 뭐 t를 1분으로 둬도 되고  나는 초 단위로 하고싶다하시면 60초로 둬도 상관없습니다. 자유에요 이건. 저는 계산 간단히하기 위해 1분으로 하겠습니다. 그러면 이제 상수 k값이 ln(10/17)라는 것을 알 수 있습니다. 

자, 그러면 마지막으로 21.9도를 T에 대입해서 t값을 알아보도록 합시다. 21.9=22-17e^(ln(10/17))t 이렇게 식을 세울 수 있죠?  공학용 계산기를 통해서 구해보면 t=9.678...로 나옵니다. 대략 9.7분 (9분42초)정도 걸린다고 보시면 되겠습니다. 

처음에 방안에 들어오는 시점으로부터 9분 42초! 라고하면 정확한 답변이 되겠죠?

크레이직 해설지에서는 580초 (대략 9.67분)으로 나온걸 보니 맞게 푼듯합니다.

▶ 치환형 변수분리 미분방정식

치환형 변수분리 미분방정식은 한눈에 봤을때는 변수분리가 되기 힘들것 같은데..? 하는 모습이지만 치환을 사용하면 눈에 확 보이는 유형입니다. 

▶ 상미분방정식이란? 

- 독립변수는 하나 밖에 없는 방정식을 말합니다. ex) F(x,y,y')=0

▶ 변수분리란?

- f(x,y)가 f(x)*g(y) 혹은 f(x)/g(y) 꼴이 될 때 변수분리형 미분방정식이라 합니다.

(이 때, y'=f(x,y)이다.)

그러면 이를 이렇게 표현해봅시다.

쉽죠? 변수분리는 상미분방정식 파트에서 가장 쉬운 문제풀이입니다.  몇 가지 예를 한번 들어서 풀어볼까요?

위 표는 여러분들이 상미분방정식을 풀 때 참고하면 좋을 테이블입니다. 특히 역삼각함수 쪽은 잘 봐두시길 바랍니다.