[공업수학] 2계 제차/비제차 선형상미분방정식 정의 & 론스키안 행렬식 (Wronskian Matrix)

▶ 2계 제차 선형상미분방정식

- 2계라는 것은 도함수가 몇번 시행됐냐를 의미합니다. 즉, 이계도함수임을 의미하는데요. 2계 선형상미분방정식은

다음과 같은 형태를 띱니다.

2계 비제차 선형상미분방정식

위의 식입니다. 1계 선형상미분방정식이랑 똑같죠?  우변에 r(x)=0이면 제차고 아니라면 비제차란 것까지!

이 2계 선형상미분방정식은  하나의 성질에 의해 해를 구하는 과정을 관통합니다. 바로 아래를 보시죠.

위와 같이 나온 일반해를 봅시다. y=y1+y2이런 꼴이죠? 물론 앞에 계수가 따로 붙어야 우리가 아는 일차결합이 됩니다. 

y=c1y1+c2y2 이런꼴이 일차결합인데요. 여기서 만약 c1y1+c2y2=0이라 합시다. 여기서 c1,c2가 둘다 0이라면 일차독립이구요. 만약 둘 중 하나라도 0이 아니라면 일차종속이 됩니다. 

 

 

▶ 론스키안 행렬식

- 론스키안 행렬식은 2계 혹은 그 이상의 n계 제차 선형상미분방정식에서 주어지는 각각의 함수 y1,y2,....yn 들을 

행렬화시켰을 때, 행렬의 값이 0이 아니라면 '일차 독립'임을 보이는 방법입니다.  그러면 이제 아래에 론스키안 행렬식을 나타내는 방법에 대해 살펴보겠습니다.

론스키안 행렬식

이런 꼴로 나타나는 것입니다.