[공업수학] 뉴턴의 냉각법칙과 치환형 변수분리 미분방정식

▶ 뉴턴의 냉각법칙

뉴턴의 냉각법칙은 별거 없습니다. 시간에 따른 온도의 변화율을 개념으로 하는데요. 

다음과 같이 표현합니다. T_0는 실내 온도 혹은 우리가 관심을 두는 물체를 둘러싼 주위의 온도정도로 알아두시면 됩니다. 고정된 값입니다!  우리가 열역학을 배울때보면, 서로 다른 온도를 가진 두 물체 혹은 공간이 존재하면 열평형을 향해 달려가지 않습니까? 그걸 표현하는 식이 뉴턴의 냉각법칙입니다. k는 비례식을 방정식으로 표현하기 위한 상수에요.

 

그러면 dT와 dt를 분리시켜서 공식을 세울 수 있겠죠?

이게 일반적인 식입니다. 뭐 여기서 크게 벗어나는 것 같지는 않습니다.  문제를 하나 풀어보도록 합시다. 

크레이직 공업수학 10판에서 인용

이럴 때는 먼저 조건을 봅시다. 고정된 값은 22도 (방의 온도)죠? 얘는 T_0에 대입하면 됩니다. 그리고 초기의 온도계가 가리키는 눈금은 5도이므로 t=0일 때, T=5 , T_0=22이므로  적분상수 c의 값을 구할 수 있습니다. 

 

잘 따라오셨으면 c=-17인 것을 알 수 있을겁니다. 

그 다음 1분 후에 변화된 온도를 봅시다. 뭐 t를 1분으로 둬도 되고  나는 초 단위로 하고싶다하시면 60초로 둬도 상관없습니다. 자유에요 이건. 저는 계산 간단히하기 위해 1분으로 하겠습니다. 그러면 이제 상수 k값이 ln(10/17)라는 것을 알 수 있습니다. 

 

자, 그러면 마지막으로 21.9도를 T에 대입해서 t값을 알아보도록 합시다. 21.9=22-17e^(ln(10/17))t 이렇게 식을 세울 수 있죠?  공학용 계산기를 통해서 구해보면 t=9.678...로 나옵니다. 대략 9.7분 (9분42초)정도 걸린다고 보시면 되겠습니다. 

처음에 방안에 들어오는 시점으로부터 9분 42초! 라고하면 정확한 답변이 되겠죠?

 

크레이직 해설지에서는 580초 (대략 9.67분)으로 나온걸 보니 맞게 푼듯합니다.

 

 

▶ 치환형 변수분리 미분방정식

치환형 변수분리 미분방정식은 한눈에 봤을때는 변수분리가 되기 힘들것 같은데..? 하는 모습이지만 치환을 사용하면 눈에 확 보이는 유형입니다.