Crush on Study

1계도함수의 판정법 정의는 다음과 같습니다.

정의

* 주어진 함수 f가 구간[a,b]에서 연속이고 구간(a,b)에서 미분이 가능하다 하자. (a,b)안의 임의의 수 x에 대하여 다음이

성립한다.

1) f'(x)>0이라면 f(x)는 구간 [a,b]내에서 증가함수이다.

2) f'(x)<0이라면 f(x)는 구간 [a,b]내에서 감소함수이다.

3) f'(x)=0이라면 f(x)는 구간 [a,b]내에서 상수함수이다.

이제 위 정의를 평균값 정리를 사용하여 증명하도록 하겠습니다.

코시의 평균값 정리는 우리가 이전에 배웠던 평균값 정리의 좀 더 일반화된 표현입니다. 간단하게 정의만 보고 증명도 후딱 하겠습니다.

라그랑지 평균값 정리와 아이디어는 동일합니다. 혹시 기억이 안나신다면 이 블로그에서 '평균값 정리' 를 검색하시면 10월달쯤에 쓴게 뜰겁니다.

제가 네이버 블로그 운영하면서 은근히 검색유입이 높았던 파트입니다. 왜인진 모르겠네요.  일단 우리는 위 공식을 

상당히 자주썼겠지만 공식이 도출되는 이유를 알아야 합니다. 

눈치채신분도 있겠지만 공식에 대한 정의를 보면 상당히 익숙한 조건이 적혀있습니다. 위 공식은 평균값 정리를 이용해서 유도해내는 겁니다. 일단 그래프부터 봅시다.

이런 식으로 곡선이 주어졌다 합시다. 구간 a부터 b까지를 x에 대한 구간이라하면 이에 각각 대응하는 값은

f(a)부터 f(b)까지 일 것입니다. 이게 y에 대한 구간이라 합시다. 이 때 [a,b]를 n등분하도록 합시다. 그 다음 찬찬히 시도해보죠. 이것을 이제 잘게 쪼개서 최대한 오차가 적은 여러개의 작은 직선을 곡선에 빗대보는 겁니다.

뭐, 이렇습니다. 이게 곧 삼각형 빗변의 공식과 같죠? i가 1부터 시작해서 n까지 끝난다고 하면  이들을 모두 더하고, 그것을 n이 무한으로 갈 때의 극한값을 취해주면 우리가 항상 해오던 적분 유도 절차를 착실히 수행한 것이죠.

근데 봅시다. 정의가 맞다면 우리는 평균값 정리를 시행할 수 있어요. 바로 이것.

이런식으로 나오게 됩니다. 이해 잘가시죠?? 이번 포스팅은 여기까지로 하겠습니다.

중간에 좀 많이 건너뛰었습니다. 

건너뛴 파트 : 부피 공식 ex. 원통셸,  부분적분, 치환적분 (삼각치환) , 심프슨 공식, 사다리꼴 공식, 중점 법칙 등등

윗 부분 내용은 다시봐도 연고대 편입수학 기출에 나오는 유형은 아닙니다. (부분적분&치환적분 제외) 

부분적분과 치환적분은 기초중의 기초기 때문에 그냥 스킵했습니다. 부분적분, 치환적분 문제 각각 10개씩만 풀어봐도 감잡히실테니 바로 이상적분하겠습니다.

이상적분이란? 

- 이상적분은 정의되지 않는 구간이 주어졌을 때 그것에 대한 적분을 의미합니다. 가장 많이 보는 예로 '무한대'꼴로 구간이 주어졌을 때입니다.  사실 이것은 우리가 고3때도 자주 봐오긴 했습니다. 바로 '표준정규분포'의 넓이는 1이다. 라고 배울 때 그 1이 나오는 이유가 실수 전체 구간에서의 이상적분을 시도해서 나온 값이기 때문입니다.

이상적분은 적분문제로도 좋지만 급수파트에서 적분판정법과 p급수판정법에 함께 등장하는 파트입니다. 수렴&발산 판정에도 용이하고 만약 수렴한다면 또, 적절한 계산능력을 갖춰야하기 때문에 상당히 출제하기 좋은 단원입니다.

그런의미에서 굉장히 좋은 문제 하나 가져왔습니다. 단언컨대, 연고대 둘중 한 곳에서 반드시 이러한 유형 출제하리라 생각듭니다. 

문제 써놓고보니 2019였나 2018이였나 고려대 편입수학 기출로 비슷한거 나왔던거같네요

어쨌든 풀이하겠습니다. 어렵진 않으나 일변수함수 파트를 꽤 자세히 공부해놔야 무난히 풀 수 있는 문제입니다.

적분의 평균값 정리는 실제 기출 (2017)에 출제된 적이 있습니다. 먼저 정의부터 한번 보고 가도록 하겠습니다.

적분의 평균값 정리를 사용할 조건도 평균값 정리의 조건과 동일합니다. 

이번 파트 역시 연세대 편입수학 증명문제로 자주 나왔던 문제이기도 합니다. 한번 봅시다. 

미적분학의 기본정리는 2가지 정리가 있습니다. 두 개 모두 중요하니까 증명하도록 하겠습니다.

먼저 정의를 보죠.

이게 1번정리인지 2번정리인지 잘 모르겠는데  순서는 어차피 상관없겠죠?.. 어쨌든 정리가 저렇게 주어져 있습니다.

여기서도 우리는 증명할 때 평균값 정리를 사용할 거에요. 왜냐? 눈치빠르신분들은 아셨겠지만 일단 주어진 함수가 구간에서 연속이구요! 역도함수를 갖고 있다는 말은 당연히 미분가능성도 보이고 있기 때문입니다. 평균값 정리를 사용할 조건이 다 들어맞으니 당연히 사용해드려야죠~

그다지 어렵진 않죠?  이제 다음 정리를 봅시다.

위 정리 역시 그다지 어렵지 않습니다. 한번 풀어봅시다. 

2017 기출에 적분의 평균값 정리를  미적분학 기본정리를 이용해서 증명하라는 문제가 나왔던 기억이 납니다. 이제 적분의 평균값 정리를 증명할 때  오늘 배운 기본정리를 어떻게 써먹는지 곧 포스팅하도록 하겠습니다. 

부정형이란 정할 수 없는 유형이라고 생각하시면 됩니다. 대표적인게 곱 부정형, 분수꼴 부정형, 차 부정형, 거듭제곱 부정형이 있습니다. 대개, '응'꼴 이거나, 무한대/무한대  혹은 그들의 곱 등등 딱 봐도  '어..? 이런게 가능해?' 라는 말이 나옵니다. 

이러한 부정형에 대한 극한을 풀 수 있게 해주는 것이 로피탈 정리입니다. 한번 보도록 하죠.

이것에 대한 문제를 하나 풀어보겠습니다.