Crush on Study

연세대 편입수학 기출에 진짜 너무 자주 나오는 유형입니다. 2016기출엔 평균값 정리 증명, 2017기출엔 적분의 평균값 정리 증명, 2018기출엔 평균값 정리를 이용한 증명문제.  2019기출에서까지 내긴 좀 그랬는지 작년엔 안나왔는데 

3연속이나 나왔었고 더 예전 기출에도 나왔을 정도면  솔직히 안 공부하고 가는게 이상할 정도죠?? 

그래서 평균값 정리 제대로 시작합니다.  먼저 평균값 정리가 뭔지부터 보겠습니다.

증명하기전에 그래프 하나 보고 가세요!

위 그래프에서 먼저 곡선 그래프인 f(x)가 점 c에 있을 때를  그냥 'f(x)' 라고 두겠습니다. 그리고 파란색 직선에 위에 있는 점 c를 그냥 y라고 두겠습니다. 그러면  F(x)=f(x)-y라고 둬도 되겠죠? 그러면 세팅은 끝났으니 이제 봅시다.

다음은 실제로 연세대학교 편입수학 기출에서 평균값 정리에 관한 문제가 나왔던 것을 보여드리고자 합니다.

어떤가요? 정말 많이 나오죠??  이 중 2017 기출은 사실 평균값 정리의 응용 중 '적분의 평균값 정리' 라는 것인데요.

이는 제가 곧 따로 다뤄드리겠습니다. 

정리는 위와 같습니다. 저는 증명법만 외우지 말고 정리도 함께 외우셨으면 합니다. 연세대 기출을 보면 보통 일변수함수

파트를 증명할때, a) xxx 정리를 서술하시오.  b) xxx 정리를 증명하시오.  이런식으로 묶어서 내더라구요. 

아무튼 롤의 정리를 증명하겠습니다. 롤의 정리를 증명하기 위해서는 2가지 경우의 수로 나눠서 생각해야 합니다.

1) 주어진 함수가 상수함수일 때!  2) 주어진 함수가 상수함수가 아닐 때!

상수함수일 때는 증명이 쉽죠?  이제 상수함수가 아닐 때를 봅시다.

어떤가요? 우리가 이전 포스팅에서 다룬 최대&최소정리와 페르마 정리가  벌써 증명할 때 쓰이죠? 제가 한 증명을

잘 읽어보시고 반복해서 적어보시길 바랍니다.  연세대학교는 고려대와 달리 증명문제가 절반은 출제되므로 가능한한

스튜어트에 나온 모든 증명정리를 외우고 가셔야 합니다. 

이번에 소개할 내용들도 역시 마찬가지로  증명문제를 푸는데 있어 기본적으로 사용되는 녀석들입니다. 한번 봅시다.

1. 최대&최소와  극대&극소의 차이점

* 은근 대답을 못하는 유형입니다. 딱 잘라 설명해드리겠습니다. 최대와 최소는 주어진 함수가 어떤 구간에서 정의될 때, 그 구간에서 가장 큰 값을 최댓값,  그리고 가장 낮은 값을 최소값이라고 합니다.   만약 실수 전체 구간이라 하면 

최댓값과 최솟값은 양의 무한, 음의 무한이겠죠?

그럼 극대&극소는 뭔가요?  극대와 극소는 극값을 C라고 할 때, C근방에 있는 x들에 대해 f(c)가 f(x)보다 크거나 같을 때를 극댓값이라 하고  f(c)가 f(x)보다 작거나 같을 때를 극솟값이라 합니다. 그래프로 보면 더 이해가 잘될거에요.

우리가 하는 가장 큰 착각이 극대값과 극소값은 항상 큰 값이야!, 작은 값이야! 각각 하나씩만 있어야 돼!  이건데요.

전혀 그렇지 않죠? 위 그래프는 구간이 딱히 정해져있지 않으므로  실수 전체 영역에서 정의되는 함수라고 보고 판단한 듯합니다.  그럼 저 함수에서 최대,최소값은?  양의 무한, 음의 무한이 되겠죠!

2. 극값 정리

극값 정리란 함수 f가 폐구간 [a,b]에서 연속이라면, 이 구간 안에서 c와 d라는 최댓값과 최솟값을 가질 것이다. 라는 정리입니다. 이 극값 정리는 최대&최소 정리라고도 부릅니다. 조만간 여러 일변수함수들의 증명법에서 다루게 될 내용입니다. 

3. 페르마의 정리

우리는 인터넷 밈으로 '페르마의 마지막 정리' 라는 것을 가끔 본적이 있을것입니다. 뭐였더라, 할 수 있지만 여기에 다 못적으니 안하겠다~ 이런 느낌이였던거로 본 것 같네요 ㅋㅋ

근데 그 정리랑은 다릅니다.  페르마의 정리는 다음과 같습니다.

위 정리 맨 앞에 함수 f라고 적어야 했는데 빼먹었네용 ㅎㅎ.. 죄송합니당

어쨌든 지금 우리가 총 3개를 봐왔죠? 그리고 이 전에 포스팅한 스퀴즈 정리까지! 잘 익혀두시고 이제 일변수함수들을 제대로 들어가보도록 합시다.

오늘은 2018년 연세대 편입수학에 나온적이 있던 최대정수함수 (가우스 함수)와 증명의 기초기법 중 하나인 스퀴즈 정리를 소개할 것입니다.

스퀴즈 정리부터 봅시다. 

위 정리는 정말 증명을 하는데 있어 기초적으로 알아야할 개념입니다. 

다음은 최대정수함수 (가우스함수) 입니다. 

따라서, [1,2) / [2,3) / [3,4) / [4,5) .... 이러한 꼴로 설명할 수 있겠습니다. 실제 연대 기출에서는 이를 이용한 이중적분 문제가 출제되었었는데 사실 어려운 문제는 아니였습니다.