[일변수함수] 최대&최소 정리와 극값 정리, 페르마의 정리

이번에 소개할 내용들도 역시 마찬가지로  증명문제를 푸는데 있어 기본적으로 사용되는 녀석들입니다. 한번 봅시다.

 

1. 최대&최소와  극대&극소의 차이점

* 은근 대답을 못하는 유형입니다. 딱 잘라 설명해드리겠습니다. 최대와 최소는 주어진 함수가 어떤 구간에서 정의될 때, 그 구간에서 가장 큰 값을 최댓값,  그리고 가장 낮은 값을 최소값이라고 합니다.   만약 실수 전체 구간이라 하면 

최댓값과 최솟값은 양의 무한, 음의 무한이겠죠?

 

그럼 극대&극소는 뭔가요?  극대와 극소는 극값을 C라고 할 때, C근방에 있는 x들에 대해 f(c)가 f(x)보다 크거나 같을 때를 극댓값이라 하고  f(c)가 f(x)보다 작거나 같을 때를 극솟값이라 합니다. 그래프로 보면 더 이해가 잘될거에요.

극값 그래프

우리가 하는 가장 큰 착각이 극대값과 극소값은 항상 큰 값이야!, 작은 값이야! 각각 하나씩만 있어야 돼!  이건데요.

전혀 그렇지 않죠? 위 그래프는 구간이 딱히 정해져있지 않으므로  실수 전체 영역에서 정의되는 함수라고 보고 판단한 듯합니다.  그럼 저 함수에서 최대,최소값은?  양의 무한, 음의 무한이 되겠죠!

 

 

2. 극값 정리

극값 정리란 함수 f가 폐구간 [a,b]에서 연속이라면, 이 구간 안에서 c와 d라는 최댓값과 최솟값을 가질 것이다. 라는 정리입니다. 이 극값 정리는 최대&최소 정리라고도 부릅니다. 조만간 여러 일변수함수들의 증명법에서 다루게 될 내용입니다. 

 

3. 페르마의 정리

우리는 인터넷 밈으로 '페르마의 마지막 정리' 라는 것을 가끔 본적이 있을것입니다. 뭐였더라, 할 수 있지만 여기에 다 못적으니 안하겠다~ 이런 느낌이였던거로 본 것 같네요 ㅋㅋ

근데 그 정리랑은 다릅니다.  페르마의 정리는 다음과 같습니다.

위 정리 맨 앞에 함수 f라고 적어야 했는데 빼먹었네용 ㅎㅎ.. 죄송합니당

 

어쨌든 지금 우리가 총 3개를 봐왔죠? 그리고 이 전에 포스팅한 스퀴즈 정리까지! 잘 익혀두시고 이제 일변수함수들을 제대로 들어가보도록 합시다.