Crush on Study

▶ 비오 사바르 법칙

지금부터 쓰는 전자기학 내용은 자기현상에 대한 것입니다. 먼저 자기현상이 어떻게 발견되었는지부터 천천히 알아보겠습니다. 자기현상은 외르스테드가 전류 주위의 나침반 바늘이 움직여지는 것을 관찰하게 되면서 연구가 시작되었습니다. 

전기현상과 자기현상은 대응되는 관계가 굉장히 많습니다. 그러므로 표를 통해 비교하면서 쉽게 알아보도록 하죠.

전기장의 단위는 N/C 또는 V/m입니다.  자기장의 단위는 테슬라 (T)입니다. 미장 주식인줄 ㅎ

쿨롱 법칙의 경우는 dq대신 전하밀도*미소부피dV를 곱하는 꼴로 표현도 가능했었죠?

비오-사바르 법칙의 경우는 idl대신 전류밀도J에다가 미소부피 dV를 곱하는 꼴로 표현이 가능합니다.

▶ 앙페르 법칙

앙페르 법칙은 가우스 법칙과 대응되는 관계라 하였습니다. 

가우스 법칙을 다시 되짚어보겠습니다. 전기선속을 구하는 방법은 전기장의 값과 단면적의 값을 벡터내적 시킨 값과 같았습니다. 이때  E와 A를 내적시킨 값은 전하Q를 진공상태에서의 유전율로 나눈값과도 같다고 했었죠? 이게 가우스 법칙입니다.  조건은 임의의 가우스 폐곡면으로 둘러쌓인 상태로 정해놔야했었죠.

그런데 앙페르 법칙은 조금 다릅니다. 가우스 법칙 역시 자기장에 대해서도 적용이 됩니다. 

먼저 폐곡면을 지정하는 것은 똑같습니다. 근데 전기선속과 달리 폐곡면을 통과하는 자기선속의 값은 항상 0입니다.

전기선속의 값은 전하Q/진공상태 유전율의 값이지만 자기선속의 값은 0이다! 이거죠. 

왜냐? 이는 미적분학에서 배웠던 선적분의 기본정리에서 잘 나와있습니다. 자기선속은 시작과 끝이 존재하거든요. 

전기선속은 무한히 뻗어나가지만 자기선속은 시작과 끝이 존재합니다. 폐곡선이죠. 지구의 N극과 S극을 생각해보시면 됩니다. 폐곡선에 대한 선적분의 값은 항상 0이라는 것. 기억하고 계십쇼!

그러면 앙페르 법칙을 통해서도 자기선속을 구할 수 있겠죠? 가우스 법칙을 통해 전기선속을 구했듯이

앙페르 법칙은 다음과 같습니다.  자기선속의 값 = 자기장과 단면적의 벡터외적 = 뮤제로(진공상태의 투자율) * 전류

영의 이중슬릿 실험

영의 이중슬릿 실험은 대략적인 내용이 이러합니다. 그림을 보시면 S라는 광원이 평면파 형태로 단일슬릿에 부딪힙니다.

그러면 작은 틈 사이로 회절이 일어나게 됩니다. 회절된 전파가 다음의 이중슬릿을 만나면 S1,S2라는 새로운 광원이 되어 회절됩니다. 즉, S1과 S2가 구면파 형태로 퍼져나갈 때, 서로 간섭하게 될 경우  상쇄인지 보강인지 스크린에 표시되는 것을 보여주는 실험입니다. 

영의 실험을 통해 얻어진 공식을 한번 보겠습니다. 이 때의 조건은 이중슬릿과 스크린 사이의 거리가  광원 S1과 S2 사이의 폭보다 많이 클 때입니다.  폭의 길이를 d라고 하겠습니다. 그러면 i >> d 라고 보시면 되겠죠? 

또, 두번째 조건이 있습니다. 광원 S1,S2 사이의 폭의 중심으로부터 P점까지 잇는 선분. 그리고 중심으로부터 스크린의 중심까지 잇는 선분. 이 사이의 각 세타가 많이 작을 경우여야 합니다. 

이렇게 조건을 정했으면 이제 한번 보겠습니다. x/i의 값은 tan세타와 동일합니다. 근데 이 세타값이 많이 작으면

tan세타=sin세타=세타로 봐도 무방합니다. 여길 기억해주세요. 

저기 dsinΘ를 봅시다. 이는 광경로 L1와 L2사이의 경로차와 같습니다. 즉, 

L1-L2=dsinΘ라는 것인데, 우리는 세타가 많이 작으므로, 결국에는 dΘ로 둬도 됨을 알 수 있습니다. 

그리고 세타의 경우는 우리가 위에서 x/i라고 정의했죠? (위 그림에서는 i대신 L로 표시했네요.)

▶ 프레넬 거울

- 프레넬 거울은 거울이 2개가 존재하고 이 거울 사이의 각도가 180도 조금 못미친 상태에서에서의 반사를 보는 것입니다. 광원으로부터 나온 전자기파가 거울A면에 반사되고 거울B면에도 일부 반사되면 반사파들 2개가 결맞음현상에 의해 

보강간섭이든 상쇄간섭이든 일어나게 될 것입니다. 

이런 꼴로 나오는데요. 영의 이중슬릿실험과 비슷합니다. 단지, 영의 이중슬릿실험에서는 슬릿중심에서 스크린중심까지의 중심거리 R에 대한 것이였으면  프레넬 거울에서는 구면반지름 R과 반사지점에서 스크린 상의 임의의점까지의 직선거리 d의 합에 대한 것일 뿐입니다. 

기본적으로 전기장은 진폭으로 표현합니다. 자기장이 가지는 역할은 크게 없어요. 

kr부분은  공간에 대한 표시고, wt는 시간에 대한 표시죠.  코사인파든, 사인파든 표현은 자유입니다. 어쨌든 헥츠 책에는 저렇게 정의되어있으니 책을 따라 적겠습니다. 

그러면 간섭의 정의를 살펴봅시다. 간섭이라는 것은 두개의 Source로 부터 나온 전기장 진폭이 만나서 상쇄가 되든, 보강이 되든 하는 것을 말합니다. 즉, 거리가 가까워 서로 영향을 준다는 것이죠. 

그러면 우리가 이렇게 표현할 수 있습니다.

입실론1과 입실론2는 위상차를 의미합니다. 이 뜻은 두 전기장진폭이 같은 위치에서 나온 Source가 아닐수도 있음을 고려한 것입니다. 우리가 전기장진폭을 세웠으면 이것의 제곱이 곧, 빛의 세기 (복사조도)와 비례한다는 것을 알 수 있습니다. 

그러면 이제 우리가 주목해야할 것은 델타값입니다. 이 델타값이 어떻게 나오냐에 따라 보강간섭이 될지, 상쇄간섭이 될지 나오거든요. 

보강간섭이 되려면 코사인함수 값이 1이 되야합니다. 그러면 2mπ (m은 정수)로 나타낼 수 있겠습니다. 그렇죠?

m에 아무 정수나 대입해서 위에 복사조도 값에 대입해보시면 4I제로가 그대로 나옵니다. 

그러면 상쇄간섭의 값은 코사인함수 값이 0이 되야겠죠? 그러면 mπ (m은 정수)로 나타내면 되겠습니다. 그러면

스크린에는 이런 무늬가 나타나게 됩니다.

밝은 무늬가 복사 조도가 max일 때,  어두운 곳이 복사 조도가 min일 때입니다. 

빛은 알다시피 매질을 통해 전파됩니다. 태양으로부터 뿜어져 나온 전자기파가 이제 지구로 들어오게 되면요,

입사된 전자기파들은 지구의 열권,중간권,성층권쪽에서 존재하는 공기 산란자(Scatter)들에 의해 산란이 되게됩니다.

우리는 이 과정에서 보라색 영역과 파란색 영역대의 가시광선이 산란되기 때문에 위 사진과 같은 하늘색을 보게됩니다. 

그러면 이제 이것을 좀 더 자세히 알아봅시다. 

공기 중에서는 질소와 산소가 거의 주를 이룹니다. 이들이 가지고 있는 공명진동수는 가시광선이 아닌 UV,IR영역에서 존재하기 때문에 가시광선 영역에서는 '흡수'가 아닌 산란이 일어나게 됩니다. 

전자기파가 이제 질소와 산소입자와 만나 이들 주위를 돌고있는 '전자구름'을 오실레이션 시키게 됩니다. 그러면 오실레이션됨으로써, dipole들의 Radiation이 일어나게 됩니다. 그림으로 보면 아래와 같습니다.

전자기파가 공기 중의 입자와 만나 오실레이션이 일어난 뒤, 다이폴에 의해 방사상으로 퍼져나가는 것을 보이고 있습니다. 고체와 달리 기체의 경우는 저렇게 방사형으로 (모든 방향으로) 퍼져나가는 것이 핵심입니다. 

저렇게 퍼져나갔을 때, 만약 산란자들이 적당한 거리만큼 떨어져있었다면  서로 간섭을 하지 않는 상태겠죠?

이러한 상태일 때를 레일리 산란이라고 부릅니다. 

즉, 레일리 산란의 조건은 요약하자면 다음과 같습니다.

1. 입자의 크기가 전자기파의 크기보다 훨씬 작아야 한다. 대략 1/15

2. 산란시키는 원자들 간의 간격이 파장보다 커야한다. 

여기까지 대략적인 빛의 산란에 대해 알아보았고, 바로 다음 포스팅에서는 이제 보다 수학적으로 접근해보도록 하겠습니다.

- 만유인력은 질량을 가진 두 물체 사이가 가지는 힘을 의미합니다. 

이러한 꼴을 가지고 있는데, 전자기학에서 나오는 전기장과 중력장은 거의 유사한 의미를 가집니다. 

아래 표로 제가 간단히 비교해보겠습니다. 

각각 대응되는게 느껴지시죠? 전기장에서는 질량대신 전하량 q를 쓰고,  중력장에서는 전하량 q 대신 질량 m을 씁니다.

V가 전기장에서는 퍼텐셜을 의미한다면 Φ가 중력장에서 퍼텐셜을 의미합니다. 

퍼텐셜 에너지라는 것은 각각의 필드 내에서 퍼텐셜을 가지고 있을 때, 시험전하 혹은 시험질량에 대한 영향력을 의미합니다. 

지금부터는 전자기학 3단원내용입니다.

먼저 소개해드릴 내용은 라플라시안과 푸아송 방정식인데요. 이를 알기 위해서는

먼저 이들을 소개하려면 가우스 법칙 (맥스웰 방정식 1단계)을 먼저 익혀야 합니다.

물론 가우스 법칙정도는 이제 웬만큼 깨우치셨을테니  간단히 적분형 가우스 법칙에서 미분형 가우스 법칙으로 유도되는 과정만 함께 적도록 할게요.

이거를 미분형태로 표현하자는 것인데요. 저 인테그랄 기호가 폐곡면임을 의미하는 것이거든요? dA에 대한 미분이니까요. 그러면 발산 정리에 의해 E dA를

델E와 dV의 곱으로 바꿔줄 수가 있습니다. 그러면 아래처럼 표현이 됩니다.

양변에 dV에 대한 적분이니까, 이를 생략해주면 델E는 부피전하밀도/입실론제로가 될 것 입니다.

이게 이제 전기장에서의 가우스 법칙을 미분형태로 표현한 것인데요. 여기서 한 단계

더 나아가면 라플라시안과 푸아송 방정식이 됩니다. 

우리는 전기장과 전위의 관계도 앞서 배웠었습니다. 전위의 그래디언트값에 음수를 붙이면 그게 전기장이 되었었는데요. 그러면 이렇게 표현이 됩니다.

자, 이것의 의미가 뭔지 설명해드리겠습니다. 우리가 고등학생 때 수학을 공부하면

이러한 3차 함수 그래프를 두고, 1계미분과 2계미분에 대해 본 적이 있을거에요.

주어진 함수에서 1계미분을 했을 때, 0인 지점은 이제 극값이 되는 것이고, 2계미분을 했을 때, 양수인지 음수인지 판단하에 따라  위로 볼록, 아래로 오목 이라는 개념을 배웠을 것입니다. 이를 통해 기울기의 특징을 배웠을텐데요.  전기장에서 같은 역할을 하는게 라플라시안과 푸아송 방정식입니다.

라플라시안은 전하 밀도가 0인 상태를 의미하구요. 푸아송 방정식을 통해 퍼텐셜이 주변에 비해 어떠한 상태인지 알려주는 척도가 될 것입니다.

보통 전자기학에서는 푸아송 방정식보다 라플라시안을 주로 쓰는 편입니다. 우변이 0이라 더 쉽거든요. 그러면 라플라시안의 1차원,2차원,3차원 꼴을 한번 보도록 하겠습니다.

티스토리 블로그 스킨편집을 한 이후 수식편집기가 잘 안먹어서 수식입력이 안되네요. 일단 스킵해두고 추후에 설명드리겠습니다.

* Tip. 라플라시안은 좌표계에 따라 달라질 수 있다는 것을 아셔야 합니다.

이런식으로 표현이 됩니다.

우리가 배우는 물리에서는 보존장이 크게 3가지로 있습니다. 중력장, 전기장 그리고 용수철 진자운동입니다. 

그렇기 때문에 Oscillation이라고 따로 학문이 존재하는데 이는 광학을 배울 때도 많이 중요한 개념으로 작용합니다. 

오늘부터 포스팅할 오실레이션은 먼저 1차원에서부터 시작하도록 하겠습니다. 

▶ 훅의 법칙

훅의 법칙은 1차원으로 표현했을 때, F(x)=-kx라는 공식을 가집니다. 여기서 x는 델타를 붙여주면 좀 더 정확하구요. 

Δx는 거리의 변화량을 뜻하고 k는 용수철 상수라고 알려져있습니다. 이 k가 정확히 어떻게 나왔는지 한번 보도록 하겠습니다. 

용수철 운동에서의 평형점은 원점이라고 가정하겠습니다. 그러면 1차원에서는 x=0인 곳이 평형점이 되겠죠?

훅의 법칙에서 음수가 붙은 이유는 우리가 가한 힘의 방향과 항상 반대방향으로 작용하려는 '복원력' 때문입니다. 

이제 우리는 테일러 급수를 통해 F(x)를 이렇게 표현해보겠습니다.

 만약 x=0 (평형점) 이라면 어떠한 복원력도 존재하지 않을테니 F_0은 0일 것입니다. 따라서 지워주구요. 

작은 입자 내에서의 변위라고 가정한다면 사실상 2계미분부터는 그 값이 매우 작을 것이기 때문에 0으로 근사시켜도 무방합니다. 그래서 남은게 결국 F(x)=x(dF/dx)_0인데요.  그러면 용수철 상수 k가 1계미분의 음수값이 되겠죠? 

사실 훅의 법칙은 매우 간단한 원리고, 자연계에서는 매우 복잡하고 어렵게 표현합니다. 선형 진동이 아닐수도 있구요. 그러한 것들은 나중에 다루기로 하고 우리는 일단  제일 쉬운거부터 천천히 가도록 합시다. 

▶ 1차원 조화 단진자

수식 넣을게 많아서 대부분의 설명을 한글파일에 작성했네요. 아무튼 1차원 진동에서의 운동방정식 공식은 저렇게

나오게 됩니다. 근데 진자운동 역시 보존장이므로, 우리는 운동에너지와 퍼텐셜에너지의 합으로 시스템에 있는 

총 에너지의 변화량을 구할 수 있을 것입니다.  그러면 여기서 퍼텐셜에너지를 한번 구해보도록 합시다.

이런 꼴로 나왔습니다. 에너지는 시간에 무관하다고 해석해도 되겠네요. 

▶ 크로네커 델타 (Cronecker Delta)

크로네커 델타는 다음의 정의를 가집니다. 

i성분과 j성분이 같으면 1, 아니면 0으로  이를 33행렬식으로 표현했을 때, 위와 같이 단위행렬의 모습을 띠고 있음을 보여줍니다.  크로네커 델타에 대한 또 다른 성질로는 두 성분의 위치가 바껴도 같은 값을 가진다는 것입니다. 

예를 들면  δ_ij에서 행렬의 위치를 (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3) (3,1) (3,2) (3,3)로 나타내었을 때, (1,2)=(2,1)라는 예시와 같이 같은 값을 가짐을 알 수 있습니다. 즉, 전치행렬과 기존의 행렬이 같다는 것을 의미합니다. 

한가지 더 특징이 있습니다. 이 크로네커델타에다가 벡터성분을 곱해주면 다음과 같은 성질을 가집니다.

이러한 값을 가지는데요. 첫번째 예시를 보면 델타j와 벡터j는 Dummy Index이기 때문에 사라지고 v_i만 남게 됩니다. 

이는 벡터뿐만 아니라 또 다른 크로네커 델타를 곱해줘도 같은 방법으로 적용됩니다. 

그러면 크로네커델타와 벡터의 곱을 통해  단위 행렬을 표현해보도록 하겠습니다. 

이렇게 나옵니다. 지금 첫번째 성질의 예시를 든 것입니다. 위에서 말했듯이 크로네커델타는 각 성분이 같으면 1 아니면 0이기 때문에 저러한 값이 나오구요. j와j성분은 같으므로 더미인덱스라서 v_i 형태로 도출되어 위처럼 단위행렬이 나오게 되었습니다. 

▶ 레비치비타 텐서 (Levi-Civita Tensor)

레비치비타 텐서는 입실론으로 표현합니다. 아래와 같은 형태를 띱니다.

레비치비타 텐서가 1을 가질 경우에는 i,j,k의 배열이 저런식이면 됩니다. 규칙이 보이시나요? 123에서 1을 맨 뒤로 옮기면 231이고 여기서 다시 한번 2를 맨 뒤로 옮기면 312입니다. 이걸 다시 3을 맨 뒤로 옮기면 처음의 123으로 돌아오게 됩니다. 정삼각형이 있고 위쪽 꼭짓점을 i , 오른쪽 꼭짓점을 j , 왼쪽 꼭짓점을 k라고 둘 경우 시계방향으로 회전하는 배열은 레비치비타 텐서가 1값을 가진다는 것을 알 수 있겠습니다. 

그러면 -1인 경우도 여러분들이 적용할 수 있을 것입니다. 

그러면 만약  ε의 배열이 123인 상태에서 12를 서로 바꿔줘 봅시다. 그러면 213이죠? 이렇게 한 번 자리를 바꿀때마다 부호가 바뀌게 되는 것도 알아두시면 좋습니다.

그러면 우리는 대체 왜 이걸 배워야하느냐? 이게 바로 벡터 외적과 내적의 시초이기 때문입니다. 

레비치비타 텐서를 통해서 벡터외적을 표현할 수가 있는데요. 

대충 이러한 모습입니다. 그러면 이걸 가지고 몇가지 예제를 증명해보고자 합니다. 

https://blog.naver.com/twonkang00/221973217939  

수정 2020_05_21  2번에 대한 증명은 사실 증명이라기보다는 그냥 값을 넣어서 진짜로 성립되나 안되나를 본 것이라서

증명대신 2번의 성질을 이용하여 증명을 해보는 문제가 위 주소에 있습니다. 제 네이버 블로그구요. 내용은 여기꺼와 거의 같습니다.