Crush on Study

오랜만에 고전역학 포스팅하네요! 어쨌든 오늘할 것은 유체의 종단속도에 대한 내용입니다. 

우리가 스카이다이빙을 한다고 생각합시다. 저는 해본적은 없지만 아래로 낙하를 할 때, 우리는 '맞바람'같은 것을 느낄겁니다. 이게 우리가 낙하하면서 공기와 마찰이 일어나면서 느끼는 현상인데요. 이를 유체에 의한 마찰계수 'k'를 이용하여 표현할 수 있습니다. 

▶ 유체의 종단속도

- 일단 마찰력을 고려했을 때의 힘 F는 중력의 힘을 받고 떨어지는 mg의 값과 이것과 반대방향으로 작용하는 힘(마찰력)인 f의 합일 것입니다.  근데 우리가 지표면에서의 마찰은 정지마찰계수 / 운동마찰계수라고 따로 존재하잖아요?

근데 공기 중에서의 마찰은 다른 마찰계수를 씁니다. 그게 아까 위에서 적은 k가 됩니다.  그러면 이제 이 마찰계수를 통해 공기 중에서의 마찰력은 어떤 값을 가지는지 봅시다.

저기서 v의 n승이 뭔가 궁금하실겁니다. 저항속도는 물체의 운동에 따라 비례합니다. 대략적으로 

n=1인 경우는 24m/s의 속도를 가질 경우 / n=2인 경우는 음속(330m/s)에 근접한 상태에서 선택합니다. 

▶ 등적비열

- 등적 비열은 부피가 일정한 상태에서의 비열을 의미합니다. 이를 열역학 제 1법칙에 적용해볼까요? ΔU=Q+W에서

W는 -PΔV와 같음을 알고 있습니다. 근데 부피가 일정하다? 이는 부피 변화량이 0임을 의미하므로, W=0인 상태임을

알 수 있습니다. 

따라서, ΔU=Q상태임을 알 수 있습니다. 한편, 열에너지 Q를 온도의 변화량 ΔT로 나눈 값은 열용량 C로 표현할수 있습니다.

따라서 위 공식처럼 표현이 가능합니다. 저것을 등적비열 (=등적몰비열)이라고 합니다. 헷갈리지 마셔야할 것이 있습니다. Q/ΔT는 비열이 아니라 열용량에 대한 공식인데 왜 이름에 비열이 포함되는가? 등적비열을 등적몰비열이라고도 부르는데요.  비열은 아시다시피 1몰에 대한 질량이 아니라 1g에 대한 질량입니다.  열용량은 물질의 온도 1도를 올리는데 드는 것을 정의로 하는데요. 여기서 물질은 1몰을 기준으로 하기 때문입니다. 

▶ 등압비열

- 이번에는 등압비열입니다. 압력이 일정한 상태에서의 비열을 의미하는데, 열역학 제 1법칙을 적용해보면 

ΔU=Q+W이고 W는 -PΔV입니다. 근데 P의 경우는 델타가 아닌 경로함수이기 때문에, 압력이 일정하더라도 W=0이 아닙니다. 그렇다면 여기서는 다음과 같이 정의할 수 있겠습니다. 

이게 등압비열입니다. 

자, 그렇다면 다시 등적비열로 돌아가서 무슨 값을 가지는지 확인해봅시다. 

이제 주어진 이상기체가 단원자냐, 이원자냐, 다원자냐에 따라 f의 값이 달라질 것입니다. k는 상수이므로 정해져있고 N 역시 원자가 몇개냐에 따라 달라지겠죠?

* 하나의 팁을 드리자면 등적비열은 기체,액체에서는 Translation(병진 운동) / Rotation (회전 운동) / Vibration (진동 운동)에 따라  3R/2 , 5R/2, 7R/2의 값을 가집니다. 다만, 낮은 온도에서는 Frozen-Out 상태가 되기 때문에 상온같은 값에서는 진동 운동은 제외됩니다.   

그리고 고체의 경우는 대체로 3R의 값을 가집니다.  이를 뒬롱 프티의 법칙이라고 부릅니다.  고체 원소의 비열, 원자열은 탄소나 붕소를 제외하고는 대체로 3R의 값(=6.2칼로리)을 가진다는 말입니다. 

자, 이번에는 다시 등압비열을 보도록 하겠습니다. 등압 비열과 등적비열 간의 관계를 알아보죠.

혹은 Nk대신 nR로 쓰기도 합니다. 

▶ 잠열 (Latent Heat)

- 잠열은 상변화와 관련된 개념입니다. L=Q/m의 공식을 가집니다. 

▶ 엔탈피 (Enthalpy)

- 엔탈피는 제가 일반화학 포스팅에서 이렇게 정의 내렸었습니다. 일정 압력의 조건 하에서 열에너지의 변화량

공식을 보겠습니다. 먼저 열역학 제 1법칙을 가져오겠습니다.  ΔU=Q+W이 상태에서  ΔU=Q-PΔV로 바꿔줍니다.

그 다음, ΔU+PΔV=Q로 넘겨준뒤, Q대신 ΔH로 적겠습니다. 그러면 ΔH=ΔU+PΔV이 됩니다.

이제 여기서 다시, 기체 내부 에너지변화량을 ΔH=Q-PΔV+PΔV로 바꿔주면, 결국 ΔH=Q이 상태가 됨을 알 수 있습니다.

따라서, 엔탈피에 변화를 주려면 Q가 변하거나 혹은 Q가 0일 때는 외력을 가해줘야 엔탈피가 변화함을 알 수 있습니다. 

그렇기 때문에 기체 내부에서 단열된 상태에서의 일은 엔탈피 변화가 0인 상태가 됩니다. 

▶ 막대 전하에서의 전위 값 구하기

자, 전위 값은 우리가 알다시피, 전기장을 거리에 대한 적분을 시킨 값에다가 음수를 붙여주면 되었습니다. 또는 미분으로 표현하면 E=-∇V로 둘 수 있습니다.

그러면 복습해볼겸 위 그림 상에서의 전기장 값을 구해보도록 합시다. 

자, 전기장 구하는 법 어느정도 파악 되시죠? 이제는 간단합니다. 여기서 z에 대한 적분만 해주면 되요. 

왜냐? 방향 성분이 z 하나니까요!  그러면 다음과 같이 나오게 됩니다. 

▶ 고리 전하에서의 전위 값 구하기

- 고리 전하는 연속적인 전하 분포 밀도 중에서 선 전하밀도를 이용하여 풀어보는 것으로 하겠습니다. 

자, 고리 전하가 가지는 반지름은 a, 그리고 P점까지 떨어진 거리를 x라고 하겠습니다. 길이 전하를 이용하기 위해선

dq=람다*dl 이라고 둬야겠죠? 마찬가지로 고리 전하의 전위를 파악해보도록 합시다.

▶ 균일하게 대전된 원판에서의 전위 값 구하기

이거도 어렵지 않습니다. 다만, 이젠 길이나 고리전하에 대한 것이 아니므로, '면적'임을 예의주시하고 풀이하면 됩니다.

다음 포스팅에서는 이제 구껍질과 속이 꽉 찬 구에 대한 퍼텐셜을 구해보도록 하겠습니다.

▶전기 퍼텐셜 에너지

- 우리가 고등학교 때 물리를 공부할 때면, 퍼텐셜 에너지 대신 위치에너지라는 용어를 많이 썼습니다. 사실, 이 위치에너지는 틀린 말입니다. 퍼텐셜 에너지가 무엇인지 먼저 설명해드리고자 합니다.  

퍼텐셜 에너지는 크게 3가지가 있습니다.  중력, 전기장, 용수철. 

여기서 가장 친숙한 중력 퍼텐셜 에너지에 대해 잠깐 설명해보겠습니다.  우리는 모두 중력의 영향을 받고있습니다. 

뉴턴의 사과처럼요. 나무에 매달려있던 사과는 중력에 의해 지표면으로 떨어집니다. 근데 우리는 이 떨어진 사과가 아까워서 다시 나무 위에 올려다두었습니다. 이 때, 높이 h만큼 사과의 무게 mg를 들어올렸습니다. 즉, 중력에 반하는 에너지 크기만큼 우리가 '일을 해주었습니다.'  

전기 퍼텐셜 에너지도 마찬가지입니다. +에서 -로 흐르고 있는 전기장 속에서 +q를 놓으면요. 이 +q는 -쪽으로 흐를 것입니다. 자연스러운거죠. 뉴턴의 사과처럼요.  근데 우리가 이 +q를 +쪽으로 거리 d만큼 움직여놨어요.  그러면 이 +q는 외력(우리의 힘)에 의해 전기장에 반하는 에너지를 받은 것이죠? 이게 전기 퍼텐셜 에너지입니다. 

자, 그렇다면 왜 마이너스가 붙었는지 짐작이 가실것입니다. 가역적인 반응에 반대되는 힘을 우리가 가해주었기 때문이죠. 

그러면 전기 퍼텐셜은 뭘까요? 전기 퍼텐셜과 전기 퍼텐셜 에너지는 엄연히 다릅니다.

▶전기 퍼텐셜

- 전기 퍼텐셜은 그냥 전기 퍼텐셜 에너지에서 시험전하 q를 나눠줍니다. 이를 전위라고 부르기도 합니다. (=전기 퍼텐셜)  이렇게 되면 우리는 전기 퍼텐셜 에너지와  전기 퍼텐셜. 그리고 전기장과 전기력에 대한 Cycle을 이해할 수 있게 됩니다.  이 싸이클은 여러분들이 직접 그려보는걸로 합시다. 과제내주는거 같네요 ㅎㅎ

▶무한한 길이 도선의 전위

우리는 위 공식에서 전위가 결국 전기장을 길이에 대한 적분을 해준 값과 동일하다는 것을 알고 있습니다. 그렇다면 먼저, 위 문제를 풀기 전에 전기장 값을 구한다면 실마리를 찾을 수 있겠네요. 이거에 대한 전기장 유도과정은 이전 포스팅에도 했지만  복습할 겸 다시 써보겠습니다. 

이렇게 풀 수 있겠습니다. 

+ 추가로 하나 더 설명하고 마치겠습니다. 퍼텐셜 에너지라는 것이 성립하려면은 '보존장' 이라는 조건이 필요합니다. 이 보존장을 벡터형식으로 검증하려면 'Curl' 이라는 개념을 사용해야 합니다.  벡터미적분학 파트에서 회전과 발산이라는 단원에서 배울겁니다. Curl의 경우는 주어진 벡터장 F에 대해 그래디언트와의 벡터 외적을 해준 것을 의미하는데요. 만약 Curl F가 0이라면 그 벡터장은 보존장이라고 합니다.  

따라서, 전기 퍼텐셜 에너지가 성립하려면 전기장 벡터 E와 그래디언트의 벡터 외적값이 0이여야 함을 먼저 적어야 의미가 있겠습니다. 

▶ 무한 막대 전하 (원통형 도선)에서의 전기장

- 오늘 포스팅 역시 가우스 법칙을 이용하여 푸는 문제입니다. 먼저 그림을 보도록 합시다.

+++++ 연속적인 전하로 이루어진 막대 도선이 존재합니다. 그리고 그 막대 도선으로부터 거리 r만큼 떨어진 곳에서의 

전기장을 구하고자 합니다. 위 그림에서 보시면 푸른색의 원통이 그려져있는데 저건 사실 임의의 폐곡면을 설정하기 위해 그려놓은 가우스 폐곡면입니다. 

자, 그림 (b)는 막대 도선을 위에서 바라본 모습입니다. 전기력선이 방사형으로 펼쳐지고 있죠? 이 때의 전기장 벡터와  가우스 폐곡면 위에 존재하는 미소면적 dA벡터를 보시면 둘은 방향이 일치하므로 세타는 0도입니다. 

그러나, 가우스 폐곡면의 윗면과 밑면의 경우는 전기장 벡터와 수직이므로 cos90=0이 됩니다. 즉, 우리는 가우스 법칙을 이용하여 전기장을 구하고자할 때, dA를 적분한 값은 곧, 폐곡면의 '옆넓이'에만 해당한다는 것을 알 수 있습니다. 

▶ 무한한 평면판에서의 전기장

얘도 어렵지 않습니다. 아래 그림을 봅시다.

거리 d만큼 떨어져있는 점에서 무한 평면에 의한 전기장값을 구하고자 합니다.  마찬가지로 적분형 가우스 법칙을 적용하여 식을 세팅하면 벡터와 미소면적의 내적값을 적분한 값과 전체 전하량 / 진공상태에서의 유전율 값이 동일하다고 둘 수 있을 것입니다. 평면판을 보면 앞 뒤로 전기력선이 뻗어나간다고 볼 수 있습니다. 보시면 평면판은 +전하로 전부 대전되어있습니다. 따라서, 식을 이렇게 세울 수 있죠.

▶ 구 외부에서의 전기장 값

보시면 Q는 균일하게 꽉 찬 구에서의 전체 전하량입니다. R은 전하의 반지름이고 r은 구로부터 떨어진 거리를 의미합니다. 우리는 r만큼 떨어진 어느 지점을 P라고 하겠습니다.  P점에서의 전기장을 구하면 되는 것입니다. 

구 외부에서의 전기장 값을 구하는 법은 쉽습니다. 그냥 구를 하나의 '점전하'로 인식하면 되거든요. 위 그림에서는 r의 크기가 R과 차이가 안나보이지만요 ㅎㅎ  어쨌든, 먼저 적분꼴 가우스 법칙을 가져와서 생각해보도록 합시다.

자, 이 상태에서 dA는 뭐죠? 구의 미소면적이죠? 근데 이 미소면적에 적분을 붙여주면 결국 구의 표면적을 의미합니다. 

근데 우리가 이전 포스팅에서 공부했듯이, Flux의 총량은 구의 표면에서의 적분값과 같다고 했습니다. 따라서, 지금 우리는 r만큼 떨어진 거리에서 '임의의 가우스 폐곡면'을 그려주었으니, 반지름이 r인 구의 표면적을 구하면 되는 것입니다. 

이걸 '구각 정리 (구껍질 정리)' 라고 부릅니다. 

그러면 dA를 적분한 값은 4πr^2이 되겠습니다. 따라서, 구 외부에서의 전기장은 다음 값을 가지게 됩니다.

▶ 구 내부에서의 전기장 값

- 자, 이번에는 구 내부에서의 전기장 값입니다. 

얘는 좀 어렵습니다. 

이러한 모습이죠? 얘는 부피 전하 밀도를 사용할것입니다. 여기서도 구껍질 정리를 적용할 수 있습니다. 이번에는 구의 껍질이 반지름이 R인 구가 되겠습니다. 

여러분들이 이미 알고 계시겠지만 내부가 균일하게 꽉 찬 구라는 것은  '부도체' 구임을 의미합니다. 만약 도체 구라면  구 내부의 전기장 값은 0입니다. 대전된 상태의 구는 전하들이 구의 표면으로 전부 이동하기 때문이지요. 

아무튼 이쪽 파트는 일반물리2에서도 배우셨겠지만 전자기학에서도 그대로 재탕할만큼 매우 중요한 파트이므로, 열심히 공부하시길 바랍니다. 

+ 추가로 설명드릴게 하나 있어서 이어 적습니다. 바로 부도체 구에서의 내부와 표면, 외부에 따른 전기장값의 그래프인데요. 

이런 꼴의 그래프를 보이게 됩니다. 보시면 구 내부에서는 거리에 따라 직선형태로 전기장이 증가하다가 '표면'에서 최고점을 찍고 외부로 나가게 되는 순간부터는 거리와 전기장의 크기가 서로 반비례하는 모습을 보이고 있습니다.  이는 나중에 전위를 공부할 때 전위그래프와 함께 비교하며  다시 나오게될 것입니다. 

일반물리에서는 사실 미분형 가우스 법칙표현법을 배우진 않는걸로 압니다.  일단 가우스 법칙이 무엇인지부터 봅시다.

가우스 폐곡면은 Flux(유량) 라는 개념을 바탕으로 합니다.  제가 전기장에 대해 누누히 언급했는데, 전기장은 원천 전하가 주변에 영향력을 미치는 공간이라고 했습니다. 그 영향력을 행세한다는 의미로 우리는 그냥 선을 그려놓곤했습니다. 

이런 식으로 말이죠. 저 선을 '전기선속' 이라고 합니다. 그리고 가우스 법칙은 곡면을 통과하는 전기선속의 양에 대해 설명하고 있습니다.  자, 그러면 적분형 가우스 법칙을 봅시다. 

dA는 전체 폐곡면 상에서 임의로 정한 미소면적입니다. 우리가 앞에서 길이전하랑 고리전하했을 때처럼 말이죠. 

즉, 전체 폐곡면을 통과하는 전기장들의 알짜합은 전체 전하량을 진공상태에서의 유전율로 나눈값과 같으며, 이를 전기선속이라고 부른다는 것입니다. 그러면 적분형 가우스 법칙과 미분형 가우스 법칙 사이에는 어떤 연관이 있을까요?

해답은 발산정리에 있습니다. 

▶ 발산 정리 (Divergence Theorem)

- 주어진 공간도형의 정사영 면적을 S라고 하자. 공간도형은 모든 면이 폐곡면이고 연속인 2계 편도함수가 성립할 시, 정사영 S에 해당하는 폐곡면 적분값은 부피에 대한 적분 값 (Flux)과 같다.

이건 스튜어트 미분적분학에서 제가 배웠던 발산정리의 정의라서 물리에서는 조금 다르게 표현할 수도 있습니다. 아무튼 이 발산정리가 왜 가우스 법칙에 적용이 되느냐!  맨 위 그림을 보시면 원천 전하 q가 전기장을 형성시키고 있습니다. 그리고 그를 둘러싼 임의의 가우스 폐곡면이 설정되어있죠? 이 때, 미소면적 dA는 가우스 폐곡면의 표면에 위치합니다. 즉, 이 미소면적에 대한 적분값이 곧 원천 전하 q가 내뿜는 전기선속(Flux)의 알짜합과 같다는 말이기 때문입니다. 

그래서, 우리는 이렇게 표현이 가능합니다. 

 저기 '델' 기호는 발산을 뜻합니다. 전기장과 델의 내적값이 알짜 전기선속과 같습니다. 또는 위 공식을 이렇게 표현하기도 합니다. 

D의 경우는 특정한 영역에서의 전기장벡터를 의미합니다. 아직 제가 이부분에 대해서는 자세히 알아보진 공부해보진 못했고 저런 표현법이 있다는 것만 알고 있습니다.  그리고 왼쪽 식의 경우는 적분값을 제외했으므로, 당연히 전체 전하량이 아닌 부피 전하밀도로 표현해야한다는 것정도는 유추가 가능하실겁니다.  

위의 법칙을 가우스 법칙 혹은 맥스웰 방정식 1번이라고 부르기도 합니다. 

고리 전하의 전기장 값을 구해보도록 합시다. 얘도 똑같아요. 이전 포스팅에서 했던 것처럼 세팅을 먼저 하겠습니다. 

고리 전하라고 해서 다를건 없습니다. 길이 전하를 동그랗게 만드면 그게 곧 고리 전하니까요! 따라서, 우리는 전하밀도 중에서 선 전하밀도를 채택해서 쓰면 되겠습니다.  

그림에서 보시는것처럼 전체 고리 전하도선에서 미소전하량 dq를 정해준 것이 보일 것입니다. 그 지점에서부터 우리가 구하고자 하는 전기장의 위치인 P점까지의 거리를 r이라고 두었습니다. 

보시면 고리도선의 반지름은 a고 고리도선 중심에서부터 P점까지의 거리는 x입니다. 그리고 dq로부터 나온 전기장 벡터성분을 위에서처럼 나눴구요. 눈치채셨겠지만 dEy는 전부 상쇄됩니다. 오로지 dEx만 구하면 됩니다. 그러면 어느정도 문제를 파악했고 세팅도 끝났으니 식을 세워보도록 합시다.