[Oscillation] 1차원에서의 훅의 법칙(Hooke's Law)과 조화 단진자 (Harmonic Simple Oscillation)

우리가 배우는 물리에서는 보존장이 크게 3가지로 있습니다. 중력장, 전기장 그리고 용수철 진자운동입니다. 

그렇기 때문에 Oscillation이라고 따로 학문이 존재하는데 이는 광학을 배울 때도 많이 중요한 개념으로 작용합니다. 

 

오늘부터 포스팅할 오실레이션은 먼저 1차원에서부터 시작하도록 하겠습니다. 

 

▶ 훅의 법칙

훅의 법칙은 1차원으로 표현했을 때, F(x)=-kx라는 공식을 가집니다. 여기서 x는 델타를 붙여주면 좀 더 정확하구요. 

Δx는 거리의 변화량을 뜻하고 k는 용수철 상수라고 알려져있습니다. 이 k가 정확히 어떻게 나왔는지 한번 보도록 하겠습니다. 

 

용수철 운동에서의 평형점은 원점이라고 가정하겠습니다. 그러면 1차원에서는 x=0인 곳이 평형점이 되겠죠?

훅의 법칙에서 음수가 붙은 이유는 우리가 가한 힘의 방향과 항상 반대방향으로 작용하려는 '복원력' 때문입니다. 

 

이제 우리는 테일러 급수를 통해 F(x)를 이렇게 표현해보겠습니다.

테일러 급수

 만약 x=0 (평형점) 이라면 어떠한 복원력도 존재하지 않을테니 F_0은 0일 것입니다. 따라서 지워주구요. 

작은 입자 내에서의 변위라고 가정한다면 사실상 2계미분부터는 그 값이 매우 작을 것이기 때문에 0으로 근사시켜도 무방합니다. 그래서 남은게 결국 F(x)=x(dF/dx)_0인데요.  그러면 용수철 상수 k가 1계미분의 음수값이 되겠죠? 

 

사실 훅의 법칙은 매우 간단한 원리고, 자연계에서는 매우 복잡하고 어렵게 표현합니다. 선형 진동이 아닐수도 있구요. 그러한 것들은 나중에 다루기로 하고 우리는 일단  제일 쉬운거부터 천천히 가도록 합시다. 

 

▶ 1차원 조화 단진자

수식 넣을게 많아서 대부분의 설명을 한글파일에 작성했네요. 아무튼 1차원 진동에서의 운동방정식 공식은 저렇게

나오게 됩니다. 근데 진자운동 역시 보존장이므로, 우리는 운동에너지와 퍼텐셜에너지의 합으로 시스템에 있는 

총 에너지의 변화량을 구할 수 있을 것입니다.  그러면 여기서 퍼텐셜에너지를 한번 구해보도록 합시다.

이런 꼴로 나왔습니다. 에너지는 시간에 무관하다고 해석해도 되겠네요.