[고전역학] Single particle의 운동방정식 (경사면에서의 마찰력)

이번 포스팅에서는 이전에 배운 뉴턴의 법칙 중 제 2법칙에 대한 응용을 배워보고자 합니다.  

경사면에서의 운동 모델

위 그림을 하나씩 짚어봅시다. 먼저 좌표축을 설정하도록 하겠습니다. O를 원점으로 잡고 P벡터가 x축과 겹쳐진 것이고, 

O에 수직 윗부분을 +y축 방향이라 하겠습니다. 

 

추가로 w를 봅시다. (초록색 방향벡터)  w의 크기는 mg라고 나왔습니다. 그렇다면 P와 수직한 아랫방향 벡터의 크기는 

wcosΘ가 됩니다.

그러면 P는 자연스레 wsinΘ가 되겠죠? 자, 그러면 어느정도 세팅은 끝났습니다. 여기서 한번 더! 위 모델은 빗면의

마찰력까지도 고려한다고 가정합시다. 

 

▶ 마찰력

- 마찰력에는 크게 두가지가 있습니다. 정지 마찰력과 운동 마찰력인데요. 정지 마찰력계수는 μs라고하고요.

운동 마찰력계수는 μk라고 합니다. 이 둘의 크기를 비교하자면 정지 마찰력 > 운동 마찰력이 됩니다. 

직관적으로 생각해봅시다. 우리가 아무리 힘을 줘도 꿈쩍도 안한다면 마찰력의 크기가 우리의 힘보다 크다는 말이되겠죠? 그 뜻은 정치마찰력계수가 크다는 말입니다. 적어도 운동마찰력계수보다는요. 

 

아무튼 돌아와서 정지마찰력의 공식에 대해 논의하자면 f=μs*N이 됩니다. (운동마찰력 역시 동일합니다. 계수만 다르구요!)

 

여기서 N은 무엇이냐? 수직항력(지면을 누르는 힘에 대한 저항력)을 의미합니다. 수직항력은  뉴턴 3법칙의 원리에서 파생된 개념입니다. 질량이 m인 물체는 중력에 의해 mg라는 크기의 힘을 가집니다. 그리고 이것과 똑같은 크기의 힘이지만 방향은 반대인 힘을 '수직항력' 이라 하는 것입니다. 

 

다시 돌아와서, 위 빗면 그림에서 물체가 정지된 상태라는 것은 미끄러지는 힘 P와  물체에 적용되는 마찰력의 크기가 동일하다는 의미가 됩니다. 따라서, 아래처럼 정리할 수 있습니다.

< 죄송합니다. 위에 mg뒤에 cos세타 빼먹었네요 ㅠㅠ >

그러면 물체가 미끄러지는 경우는 어떨까요? 일단 y성분은 똑같습니다. 다만 x성분이 달라지겠죠? 아래를 봅시다.

라고 표현할 수 있겠습니다.