[공업수학] 완전상미분방정식 & 적분인자

▶ 완전상미분방정식

- 미적분에서 함수 f(x,y)가 연속인 1계 편도함수를 가진다는 조건이 전제가 되어야 합니다. 이를 통해

다음과 같은 식이 성립함을 알 수 있습니다.

완전상미분방정식은 푸는 방법이 정해져있습니다. 지금부터 절차를 알려드릴테니 숙지하고 예제를 함께 풀어보면서 

익혀봅시다.

 

1) M(x,y)를 y에 대해 편미분하자. N(x,y)는 x에 대해 편미분하자. 이 때, 이 둘의 편미분 값이 동일하다면

완전상미분방정식이라는 의미이다.

 

2) f_x=M(x,y)dx에서 x에 대해 편적분을 시도하자. f_y=N(x,y)dy에서 y에 대해 편적분을 시도해도 좋다. 둘 중 아무거나 택해서 편적분을 시도하자. 그러면 그 편적분함수는 f가 된다. 

 

3) f_x를 편적분했다고 하자. 그러면 편적분함수 f가 나올 것이고, 이 함수를 다시 y에 대해 편미분을 해보자.

이 때, N(x,y)과 같은지 보자. 

 

4) 적절한 적분상수를 대체해서 구했으면 완성된 편적분함수 f가 나온다. 이것이 우리가 구하고자 하는 퍼텐셜 함수f이다.  가끔 초기값이 주어지고 특수해를 구하라는 문제가 나올텐데 퍼텐셜 함수 f를 구하기만 했다면 무리없이 구할 수 있다.  

 

 

위 절차대로 접근하면 됩니다. 크레이직 책에서 예제를 하나 들어서 풀어보겠습니다.

이런 절차대로 풀어나가면 됩니다. 쉽죠?

 

▶ 적분인자

- 적분인자는 완전상미분방정식이 아닌 경우, 완전상미분방정식으로 되도록 도와주는 함수를 말합니다.

적분인자를 구하는 방법도 정해져있습니다. 바로 공식을 올려두겠습니다.

둘 중 적절한 R을 구한 뒤에 익스퍼넨셜 함수의 지수적분으로 둡니다. 이를 F라 부르고 이게 우리가 원하는 적분인자입니다. 그 다음에 구하고자 하는 상미분방정식에다가 곱해줍니다. 그 다음부터는 위에 완전상미분방정식을 푸는 절차대로 진행하시면 됩니다. 그냥 과정 하나가 맨 앞에 추가된 것 뿐입니다. 

 

얘도 예제 하나 풀어봅시다.