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P급수 판정법 역시 바로 작년 연세대 편입수학에서 적분판정법 증명과 함께 나온 보너스 문제였습니다. 먼저 정의부터 볼까요? P급수는 보통 분수꼴로 나오고 p는 지수로 나오는데 이 p가 1보다 크면 수렴하고 1과 같거나 작으면 발산한다는 정의입니다. 한눈에 정리하자면 다음과 같습니다.

p급수 판정법은 구간을 좀 여러개로 나눠서 판단해야합니다. 일단 수렴일때 판정하는 것은 짧습니다. 한번 보도록 합시다.

수렴은 저걸로 끝납니다. 다만 이제 발산을 증명할 때, p=1인 경우, 0<p<1인 경우, p=0인경우 p<0인 경우로 총 4개의 경우로 나눠서 증명을 해야 합니다. 

사실 어렵진 않습니다. 전부 다 이상적분에 해당하고 p=1인 경우, p=0는 간단합니다.  

p=1일 때는 조화급수가 됩니다. 따라서 발산합니다. 여기서 조화급수란? 1/n 꼴로 주어진 급수를 말하는데 대표적인 발산급수입니다. 증명만 간단히 해보겠습니다.

따라서, p=1일 때는 발산합니다. p=0일 때는 1의 무한한 합이므로 발산하구요. 0<p<1일 때는  이상적분으로 접근합니다.  그러면 n의 지수인 p값이 양수이기 때문에 당연히 n값이 커질수록 계속해서 커집니다. 즉, 발산한다는 것이죠.

따라서 0<p<1일 때도 발산합니다.

p<0일 때는 말할 것도 없습니다. 제일 크게 증가하는 발산하는 급수입니다. 이것 역시 이상적분을 통해 해결이 가능합니다. 

p급수 판정에서 제가 그냥 말로만 설명드린 부분들은 여러분들이 이상적분을 통해 직접 풀어보시길 바랍니다.

적분판정법과 P급수 판정법 증명은  바로 작년 (2019학년도) 연세대학교 기출에 그대로 출제되었던 문제입니다. 책에 나온 증명 그대로 외워가셨기만 해도 거저주는 그렇다고 배점이 낮은 문제도 아니였습니다.  이런거 틀리는 순간 합격은 물건너갔다고 생각하시고 단단히 보고 가시길 바랍니다.

1. 적분판정법의 정의부터 보도록 하겠습니다. 

저기서 2번조건을 보면 제가 구간을 1부터 양의 무한이라고 반개구간으로 표시했는데 사실 꼭 1에서부터 시작하지 않아도 됩니다. 2에서 시작해도 되고, 3에서 시작해도 되고 무방합니다. 어차피, [1,무한)이 [2,무한) 보다 더 큰 범위를 가지니까요. 무슨말이냐면  예를 들어서 1부터 3까지는 증가하는 함수인데 이제 3부터 양의 무한까지는 감소하는 함수가 있다고 합시다. 이 때도 적분판정법 쓸 수 있습니다. 어차피 1에서 3까지 주는 영향력은 3에서 무한까지의 범위가 끼치는 영향력에 비하면 없는거나 다름없기 때문입니다. 따라서, 저 정의에서 조건2번은 크게 엄격히 따지지 않아도 좋습니다.

위 정의는 다음 그래프를 통해 증명하겠습니다.

먼저 주어진 함수가 위와 같이 1/x^2인 경우로 두고 증명하겠습니다. 이때, 위 그래프에서 나오듯이, 직사각형은 오른쪽 끝점이 곡선에 대응한다고 합시다.  우리가 구분구적법에서 배웠듯이 직사각형들을 아주 잘게 자르면 오차를 최소화 할 수 있습니다. 그렇다고 해서 적분한값과, 잘게쪼갠 직사각형들의 합이 같다고 볼 순 없습니다. 즉, 이러한 상황이 된다 이거죠.

자, 보시면 좌변은 증가수열임을 알 수 있습니다. s1 s2 s3 s4 s5.... 이런식으로 '부분합' 개념으로 보시면 됩니다. 

증가수열인데 위로 유계된 영역이 존재한다? 이는 곧 단조수렴정리에 의해 수렴이라는 것을 보여줍니다. 따라서, 적분값이 수렴하면 급수도 수렴합니다. 이번에는 반대로 발산일 때를봅시다.

자, 이번엔 주어진 함수가 1/루트x일 경우라고 생각하고 구분구적법을 실시합시다. 이 때, 왼쪽 끝점을 곡선위에 대응하는 점이라 합시다. 이 때는 이제 경우가 다르죠? 함수의 적분값보다 구분구적법으로 나눈 직사각형들의 토탈합이 더 큽니다. 근데 함수의 적분값을 보시면 이상적분을 써야하는데 이상적분을 풀어보면 주어진 함수의 적분값이 발산한다는 것을 알 수 있습니다. 따라서, 직사각형들의 토탈합 역시 자연스레 발산해야한다는 것을 알 수 있습니다. 

즉, 적분값이 발산하면 급수도 발산한다는 것도 증명이 되었습니다. 

발산판정법의 증명은 간단합니다.  발산판정법의 정의는 어떤 수열의 극한값이 0이 아니거나 존재하지 않을 때, 그 수열의 급수는 발산한다! 입니다. 

근데 우리가 이 정의를 읽다보면 어디서 많이 본듯한 정의임을 알 수 있습니다. 바로, 일반항 판정법이죠.

이전에 포스팅해놨지만 다시 한번 쓰겠습니다. 

일반항 판정법의 정의는 어떤 급수가 수렴할 때 그 수열의 극한값은 0이다. 였습니다. 그리고 우리는 이것이 참인 명제임을 이전시간에 증명했었습니다. 

우리가 고등학교 시간때 배웠듯이 참인 명제의 대우의 참/거짓 판정은  참입니다. 따라서, 이렇게 됩니다.

어떤 급수가 수렴할 때 그 수열의 극한값은 0이다.  -> 수열의 극한값이 0이 아니거나, 존재하지 않을 때, 급수는 발산한다. 

대우명제죠? 따라서 발산판정법이 증명되었습니다.