[급수] P급수 판정법 증명 (P-series) & 조화급수 (Harmonic Series)

P급수 판정법 역시 바로 작년 연세대 편입수학에서 적분판정법 증명과 함께 나온 보너스 문제였습니다. 먼저 정의부터 볼까요? P급수는 보통 분수꼴로 나오고 p는 지수로 나오는데 이 p가 1보다 크면 수렴하고 1과 같거나 작으면 발산한다는 정의입니다. 한눈에 정리하자면 다음과 같습니다.

p급수 판정법은 구간을 좀 여러개로 나눠서 판단해야합니다. 일단 수렴일때 판정하는 것은 짧습니다. 한번 보도록 합시다.

수렴은 저걸로 끝납니다. 다만 이제 발산을 증명할 때, p=1인 경우, 0<p<1인 경우, p=0인경우 p<0인 경우로 총 4개의 경우로 나눠서 증명을 해야 합니다. 

사실 어렵진 않습니다. 전부 다 이상적분에 해당하고 p=1인 경우, p=0는 간단합니다.  

p=1일 때는 조화급수가 됩니다. 따라서 발산합니다. 여기서 조화급수란? 1/n 꼴로 주어진 급수를 말하는데 대표적인 발산급수입니다. 증명만 간단히 해보겠습니다.

따라서, p=1일 때는 발산합니다. p=0일 때는 1의 무한한 합이므로 발산하구요. 0<p<1일 때는  이상적분으로 접근합니다.  그러면 n의 지수인 p값이 양수이기 때문에 당연히 n값이 커질수록 계속해서 커집니다. 즉, 발산한다는 것이죠.

따라서 0<p<1일 때도 발산합니다.

 

p<0일 때는 말할 것도 없습니다. 제일 크게 증가하는 발산하는 급수입니다. 이것 역시 이상적분을 통해 해결이 가능합니다. 

 

p급수 판정에서 제가 그냥 말로만 설명드린 부분들은 여러분들이 이상적분을 통해 직접 풀어보시길 바랍니다.