[급수] 적분판정법 (Integral Test) 증명

적분판정법과 P급수 판정법 증명은  바로 작년 (2019학년도) 연세대학교 기출에 그대로 출제되었던 문제입니다. 책에 나온 증명 그대로 외워가셨기만 해도 거저주는 그렇다고 배점이 낮은 문제도 아니였습니다.  이런거 틀리는 순간 합격은 물건너갔다고 생각하시고 단단히 보고 가시길 바랍니다.

 

1. 적분판정법의 정의부터 보도록 하겠습니다. 

저기서 2번조건을 보면 제가 구간을 1부터 양의 무한이라고 반개구간으로 표시했는데 사실 꼭 1에서부터 시작하지 않아도 됩니다. 2에서 시작해도 되고, 3에서 시작해도 되고 무방합니다. 어차피, [1,무한)이 [2,무한) 보다 더 큰 범위를 가지니까요. 무슨말이냐면  예를 들어서 1부터 3까지는 증가하는 함수인데 이제 3부터 양의 무한까지는 감소하는 함수가 있다고 합시다. 이 때도 적분판정법 쓸 수 있습니다. 어차피 1에서 3까지 주는 영향력은 3에서 무한까지의 범위가 끼치는 영향력에 비하면 없는거나 다름없기 때문입니다. 따라서, 저 정의에서 조건2번은 크게 엄격히 따지지 않아도 좋습니다.

 

위 정의는 다음 그래프를 통해 증명하겠습니다.

적분판정법이 수렴하는 경우를 증명하기 위한 그래프

먼저 주어진 함수가 위와 같이 1/x^2인 경우로 두고 증명하겠습니다. 이때, 위 그래프에서 나오듯이, 직사각형은 오른쪽 끝점이 곡선에 대응한다고 합시다.  우리가 구분구적법에서 배웠듯이 직사각형들을 아주 잘게 자르면 오차를 최소화 할 수 있습니다. 그렇다고 해서 적분한값과, 잘게쪼갠 직사각형들의 합이 같다고 볼 순 없습니다. 즉, 이러한 상황이 된다 이거죠.

자, 보시면 좌변은 증가수열임을 알 수 있습니다. s1 s2 s3 s4 s5.... 이런식으로 '부분합' 개념으로 보시면 됩니다. 

증가수열인데 위로 유계된 영역이 존재한다? 이는 곧 단조수렴정리에 의해 수렴이라는 것을 보여줍니다. 따라서, 적분값이 수렴하면 급수도 수렴합니다. 이번에는 반대로 발산일 때를봅시다.

적분판정법이 발산할 경우를 증명하기 위한 그래프 <출처 - Tistory 블로거 'Winner'님>

자, 이번엔 주어진 함수가 1/루트x일 경우라고 생각하고 구분구적법을 실시합시다. 이 때, 왼쪽 끝점을 곡선위에 대응하는 점이라 합시다. 이 때는 이제 경우가 다르죠? 함수의 적분값보다 구분구적법으로 나눈 직사각형들의 토탈합이 더 큽니다. 근데 함수의 적분값을 보시면 이상적분을 써야하는데 이상적분을 풀어보면 주어진 함수의 적분값이 발산한다는 것을 알 수 있습니다. 따라서, 직사각형들의 토탈합 역시 자연스레 발산해야한다는 것을 알 수 있습니다. 

 

즉, 적분값이 발산하면 급수도 발산한다는 것도 증명이 되었습니다.