[벡터미적분학] 포텐셜 함수 & 보존적 벡터장 증명

오랜만에 벡터미적분학 쪽 글을 씁니다. 이전 시간에 다룬 선적분의 기본정리와 경로에 독립성의 연장선상입니다.

잠깐 복습 좀 해봅시다. 선적분의 기본정리는 함수 f가 t가 [a,b]의 범위 내에서 벡터함수로 정의됩니다. 그리고 주어진 매끄러운 곡선 C에서 함수 f가 기울기 벡터를 갖고 연속임과 동시에 미분가능한 2,3변수함수면 미적분 기본정리 1번정리같은 꼴로 나온다는 이론이였습니다.

 

그리고 경로에 독립은 경로와 무관하게 단순폐곡선 C에서의 선적분 값은 0값을 가진다는 말이였습니다.

 

보존적 벡터장의 정의는 경로에 독립이라는 전제조건 하에 주어진 벡터장 F가 연속인 1계 편도함수를 가지고 P,Q의 편미분값이 동일한 경우를 말합니다. 이를 간단히 정리하겠습니다.

* 정의 제가 잘못적은 것일수도 있으니 교재 한번 참고하시길 바랍니다. 필자는 티스토리 블로그에 쓰는 글들은 교재를 거의 참고하지 않고 씁니다 ㅠ  확실히 아는 것은 별말은 안하지만 이번 내용은 정의가 조금 기억이 안나네요!...

 

아무튼 위 정의를 증명해보도록 하겠습니다.

자, 이렇게 증명이 완료되었습니다. 보존적 벡터장이면 우리는 굳이 어렵게 매개변수화 시켜서 선적분을 구할 필요가 없게 됩니다. 지금까지 했던 총 3개의 증명을 통해 우리는 새로운 방법을 알았습니다. 포텐셜 함수 문제를 한번 풀어보도록 하겠습니다.

만약 이걸 그냥 선적분풀 때 매개변수화를 시키고자하면 Integral [F(r(t))*r'(t) dt] 이 난리를 쳐야할 겁니다. 물론 풀수는 있습니다. 다만 그 계산이 굉장히 더러워집니다. 그럴 때 여러분들은 주어진 벡터장이 '보존적'인지 아닌지를 먼저 판단해야합니다. 위 벡터장이 보존적인지 보기 위해서 P를 y에대해 편미분한 값과 Q를 x에대해 편미분한 값이 동일한지

보도록 합시다.

 

1) 먼저 P의 경우 y에 대해 편미분을 하면 2x가 나옵니다.

그리고 Q의 경우 x에 대해 편미분을 하면 역시 2x가 나옵니다. 따라서, 위 벡터장은 보존적입니다.

 

2) 보존임을 확인했다면 P는 델f에서 x에 대해 편미분을 한 f_x값과 동일함을 알 수 있습니다. 따라서, 역으로 편적분을 시도해보겠습니다. f_x을 편적분하면 3x+yx^2가 나옵니다. 이 때, 여기서 끝이 아니라 '적분상수'를 붙여줘야합니다.

그리고 그 적분상수는 g(y)가 됩니다. 왜냐? 상수일수도 있지만 y에 대한 함수일 경우도 고려해야죠.

 

만약 f가 3x+yx^2+y라고 합시다. 여기서 x에 대한 편미분을 하면 3+2xy가 나옵니다. 함수 f가  3x+yx^2+1일 경우도

마찬가지입니다. 이해가시죠?

 

3)  f = 3x+yx^2+g(y)라 합시다. 이를 이제 y에 대해 편미분을 하겠습니다. 그러면 x^2+g'(y)가 됩니다.  이를 위에 Q와 비교해봅시다. g'(y)=-3y^2여야 함을 알 수 있습니다. 따라서, 우리는 f = 3x+yx^2-y^3+C임을 구했습니다.

 

이게 포텐셜 함수를 구하는 방법입니다. 주어진 문제에서는 포텐셜 함수까지만 찾으라 했으나, 선적분 값을 구하라 한다면 우리가 찾은 포텐셜 함수 f에서 '선적분의 기본정리'를 이용하여 그 값을 구해주면 끝입니다. 이거 반드시 기억하시길 바랍니다. 편입시험뿐만 아니라 중간,기말고사에서 벡터미적분학이 나오면 그린정리,스톡스정리,발산정리와 함께 더불어 가장 중요한 핵심이라 말씀드릴수 있습니다.