[벡터미적분학] 그린 정리 (Green's Theorem)

그린 정리는 선적분에서 약간 업그레이드된 버전입니다. 우리는 조각적으로 매끄러운 곡선 C라는 이름을 교재에서 한번쯤은 본적이 있을겁니다. 이 경우 우리는 곡선 C를 C1,C2,C3,C4,....의 합집합으로 표현하고 각각 구간을 나눠 일일이 계산해주곤 했습니다.  다만 특수한 조건의 경우에서는 우리가 이렇게 개고생할 필요가 없습니다.  그게 바로 그린정리가 성립할 조건입니다. 봅시다.

 

1) 단순폐곡선이여야 한다.

2) 양의 방향(반시계 방향)이여야 한다.

3) 연속된 1계 편도함수를 가져야 한다.

 

위 조건을 만족할 시에 우리는 다음과 같은 공식이 성립함을 알게 됩니다.

그린 정리에 대한 증명은 스튜어트 책에 나와있으나 그것은 D가 단순연결영역일때를 가정하고 하는 증명이기 때문에 사실 전체에 대한 증명이 아닙니다. 그저 일부 특수 경우일때에 대한 증명이라 편입시험에서 그린정리를 증명하라는 문제가 나오진 않을겁니다.

 

따라서, 증명은 생략합니다. 여러분들이 기억하실 것은 위 3조건입니다. 그리고 Tip을 드리자면 저렇게 폐곡선 C에 대한 적분 기호 표시가 나오면 그린정리를 사용해도 된다는 뜻으로 받아들이셔도 됩니다.

 

그렇다면 3조건에 대한 간략한 설명을 하고 마치도록 하겠습니다.

먼저 1번 조건입니다. 단순폐곡선이 무엇인가? - 단순하다 라는 뜻은 시점 A에서 종점 B까지 연결된 선이 주어졌다고 할 때, '교차'하지 않는 선이라는 것을 의미합니다. 즉, 숫자 '8' 처럼 교차하는 지점이 없음을 의미합니다. '0' 처럼요.

그러면 폐곡선은 뭔가요? 폐곡선은 닫혀있다는 의미 그대로 시점과 종점이 같은 곡선을 의미합니다. 따라서 단순폐곡선은 숫자 '0'같은 곡선임을 의미합니다.

 

2번 조건입니다. 양의 방향이 뭔가요? 제가 괄호에 반시계 방향이라고 표시했습니다. 좀 더 설명을 드리자면 경로를 따라 움직일 때, 왼쪽에 영역 D가 존재한다면 양의 방향으로 움직이고 있다고 표현합니다. 다시 한번 숫자'0'을 예시로 들겠습니다. 0이라는 단순폐곡선 상에서 여러분이 반시계 방향으로 돈다고 합시다. 그렇다면 여러분의 왼쪽에는 '0'에 의해 유계된 영역인 D가 정의됩니다.

 

3번 조건입니다. 연속인 1계편도함수는 그냥 그 의미 그대로입니다. 이거는 왠만하면 다 들어맞는 조건으로 깔고가니까 여러분들은 1,2번만 고려해주셔도 됩니다.