[수리물리학] Comparison Test Prove

비교판정법 역시 쉽습니다. 우리가 이미 다 배웠던거에요. 수리물리학에서 재탕중입니다. 물론 쿠머판정법, 라베판정법, 레전더리 판정법같이 처음보는애들도 있지만요!

 

비교판정법의 정의는 다음과 같습니다.

1) 두 양항수열 an , bn이 있다고하자. 이 둘의 양항급수 Σan ≤ Σbn을 만족한다하자.

이 때, Σbn이 수렴한다면 Σan도 수렴한다.

2) 1)번과 같은 조건 하에 Σan이 발산한다면 Σbn도 발산한다.

 

제가 바로 전 포스팅에 적은 Integral Test에서 발산하는 경우에 대한 증명을 할 때, 썼던 애죠?

 

비교판정법에 대한 증명은 역시 마찬가지로 단조수렴정리를 이용해보도록 하겠습니다. 

그렇죠?

 

발산하는 경우도 같습니다. 위와 같은 방법으로 증명을 시작하는데 부분합이 Sn 이미 발산하는 상태면 이보다 큰 Tn, T가 수렴할리가 없습니다.  이는 발산판정법을 통해서 보다 엄밀히 판단이 가능합니다. 부분합 Sn이 발산한다는 것은 Sn의 극한값이 0이 아니거나 존재하지 않음을 의미합니다. 따라서, 부분합Sn보다 큰 Tn, T는 극한값 역시 일단 최소 0보다는 무조건 커야한다는게 맞습니다. 따라서, 발산판정법에 의해 발산함을 알 수 있습니다.