[수리물리학] Cauchy Integral Test (코시 적분판정법)

연고대 편입수학 카테고리의 급수파트에서 배운것과 동일합니다. 수리물리학의 첫단원은 급수판정법 문제들이 여럿나오는데 적분판정법과 같이 미적분학에서도 나온애들을 다루기도 합니다.  이번 시간은 복습한다는 마인드로 

적분판정법의 정의와 증명을 진행해보도록 하겠습니다. 

 

먼저 적분판정법의 정의입니다.

1) 주어진 정의역이 [1,∞)에서 연속이다.

2) 감소하는 수열이다.

3) 치역이 양수이다. 

 

위 세 조건을 만족시킨다면 다음과 같은 결과를 만족합니다.

그렇다면 적분판정법의 증명을 오랜만에 다시 적어보도록 하겠습니다.  두가지 케이스로 나눠 설명합니다.

적분판정법 증명을 위한 그래프 (1) - 출처 Winner님의 티스토리 블로그

위 케이스의 경우, a2+a3+a4+....+an의 값은 절대로 위 이상적분값을 넘길 수 없습니다. 정리하자면 이러하죠.

또 다른 케이스는 이제 발산할 때에 대한 증명이죠?

적분판정법 설명을 위한 그래프 (2) - 출처 Winner님의 티스토리 블로그

이번에는 반대되는 케이스입니다. 여러개로 잘개쪼갠 직사각형들의 Sum이 우리가 구하고자 하는 이상적분 값보다 항상 큽니다. 근데 만약 이상적분의 값이 무한이 나온다면  비교판정법에 의하여 여러개로 잘개쪼갠 직사각형의 Sum 역시 무한이여야합니다. 따라서 이거도 증명이 쉽게 되죠.