[수리물리학] 쿠머 판정법 (Kummer's Test)

* 교수님의 ppt가 잘못 적혀있어 수정합니다. 쿠머판정법에서 r,R에 대한 식에서 an/an+1 이부분 절댓값으로 씌어져있습니다.

 

이 판정법은 사실 미적분학에서 나오는 내용은 아니고 해석학이나 수리물리학에서 나옵니다. 근데  이름만 처음들었지 사실 그렇게 어렵진 않습니다. 먼저, 위 정의를 살펴보자면, 적당한 양항수열이 주어져있구요. 

 

r이라는 식에서 양수 값을 가진다면 수렴한다고 나와있습니다.  발산판정법에서는 다른 조건이 추가되어있네요. 수열 cn의 역수 꼴이 발산하는 형태라면  양항급수  an은 발산한다고 합니다.  먼저 수렴일 경우를 증명해보도록 합시다.

 

▶ 수렴인 경우의 증명

- 포인트는 단조수렴정리입니다. 

따라서, 앞에 수열이 수렴하는 수렴임을 알았으니 ca_n+1 얘도 비교판정법에 의해 수렴하는 수열입니다. 깔끔히 정리가 되었죠?

 

▶ 발산인 경우의 증명

- 발산인 경우는 R<0이므로  모든 n은 적당히 큰 자연수 N보다 크다고 할 때,

가 됩니다.  이 경우는 사실 직관적으로  발산임을 알 수 있지만, 주어진 조건으로 증명해야 합니다.