Crush on Study

본문을 포스팅하기에 앞서, 간단히 개념 몇개만 복습하고 시작하겠습니다.

▶ 쿨롱의 법칙

- 쿨롱의 법칙은 두 점전하 사이에서의 인력 혹은 척력의 크기를 구하는 공식입니다. 이를 전기력이라고도 하는데  공식은 다음과 같습니다. 

여러분들 대부분은 오른쪽 공식이 익숙할거에요. 일반물리2에서는 오른쪽 공식을 쓰고, 전자기학에서는 왼쪽 공식을 쓰는 편입니다. 제 네이버 블로그나 여기에 작년 9~10월쯤에 쓴 쿨롱법칙은 일반물리에 대한 내용이었는데 지금부터는 복습할겸 전자기학 책 내용대로 가보도록 하겠습니다.

먼저 왼쪽 식에 대한 설명입니다. r1와 r2벡터에 대한 내용이 나오고 있습니다. 일단 두 점전하 사이는 이렇게 존재할거에요. 

위 두 점전하의 경우는 사실 그냥 놓여져 있는거고 원점으로부터의 거리가 어느정도인지 모릅니다. 

원점에서 A까지의 거리벡터를 r1이라 두고, 원점에서 B까지의 거리벡터를 r2라고 두면  r1-r2의 벡터 차가 곧 A와B사이의 거리가 됩니다. 그렇죠? 단순히 벡터의 차를 이용한겁니다. 왜 굳이 이렇게 복잡하게 하느냐? 하면요. 전자기학에서는 벡터가 너무 중요합니다. 그렇기 때문에 원점으로부터의 거리에 대한 것을 항상 적어줘야 합니다. 

아무튼, 분모에서 세제곱의 경우는 크기에 대한 것이고, 분자의 경우는 크기와 방향 모두를 가지고 있습니다. 그리고 약분을 하면 이제 우리가 아는 오른쪽 공식이 되는 것이죠. 

▶ 중첩의 원리 (Superposition)

- 중첩의 원리는 물리에서 정말 많이 나오죠? 두 점전하뿐만 아니라 여러가지의 점전하가 존재할 경우, x벡터 성분 y,z벡터 성분으로 나눠서 각각의 성분끼리 먼저 더해준다음에 전체 벡터의 크기를 구하는 원리를 의미합니다.

근데 만약에 이산적인 전하들의 분포가 아니라, 그래프처럼 연속적인 점전하들로 이루어진 경우에는 중첩의 원리를 적용할 수 있을까요? 

당연히 적용할 수야 있겠지만 그 수많은 점전하들을 일일이 성분별로 나눠서 구하기엔 사실상 인간의 손으로 하기엔 불가능에 가깝습니다. 그래서 등장한 개념이 적분이죠. 

▶ 연속적인 전하 분포에서의 전기장 (직선도선)

- 첫번째 예제를 통해 한번 풀어보도록 하겠습니다. 

사진이 애초에 좀 흐릿하네요. 여러분들의 화면이 문제가 아닙니다.

아무튼 문제는 이겁니다. P점에 위치할 때, 길이전하로부터 느껴지는 전기장의 크기를 구하는 것입니다. 

우리는 이 문제를 풀기위해 한가지 개념을 정립하고 가야합니다. 

우리는 여기서 선 전하밀도를 생각하면 되겠습니다. 자, 이제 문제를 봅시다.

그림에서도 나왔듯이, 직선도선에 어느 한 미소전하량 dq를 정해놓고 그 지점에서 P점에 미치는 전기장을 선으로 그려보았습니다. 그리고 벡터성분을 x와 y로 나눠주었습니다. 만약 반대편지점에 dq를 잡았다면 y성분은 동일하나, x성분은 상쇄될테니까, 사실상 우리는 EcosΘ가 곧 우리가 구해야 할 전체 전기장임을 알 수 있습니다.

그러면 E를 구해봅시다. 

다음 포스팅에서는 고리 전하에 대한 포스팅을 하겠습니다. 

위 법칙을 설명하기 전에 먼저, 쿨롱법칙과 전기장에 대해 간단히 복습만 해보겠습니다.

▶ 쿨롱 법칙

위와 같은 식을 가집니다. Q는 원천 전하 (source charge) q는 시험 전하 (Test charge) 입니다. 저기 1/ (4파이 입실론제로)는 쿨롱상수 값과 같고 8.99*10^9 Nm^2/C^2 의 값을 가집니다. 

서로 이끄는 힘 혹은 밀어내는 힘을 가지고 있으며, 이를 두 점전하 사이에서의 인력과 척력이라고 부릅니다. 

▶ 전기장과 전기력의 관계

- 전기장은 시험 전하가 없는 상태입니다. 즉, 원천 전하 혼자서 자신의 영향력을 과시하고 있는 상태라고 생각하시면 됩니다. 이러한 전기장 내에 '새로운 점전하(시험 전하)' 가 들어오게되면 두 전하 사이에서는 이제 척력이 발생하거나 인력이 발생하게 됩니다. 

< F=qE 라는 공식을 얻게 되겠군요! >

▶ 맥스웰 방정식 첫번째 단계 [가우스 법칙]

위 공식 많이들 기억나시죠? 오른쪽은 좀 생소할 수도 있습니다. 

다시 한번 되짚어보는 시간을 가져봅시다. 우리는 위에서 점전하에 대한 공식으로 쿨롱법칙을 보고 왔습니다. 근데 전하가 어떠한 공간 내에서 연속적으로 분포하고 있다고 한다면 어떻게  전기장 값을 구해낼 수 있을까요? 

바로 중첩의 원리를 적용하면 됩니다. (Superposition Principle)

도체가 구라고 가정하겠습니다. 이 구의 표면 중 하나를 잘라내어 그것을 '미소면적' 이라 부르고 dE만큼의 전기장 값을 가진다고 하겠습니다. 그러면 우리는 이러한 공식을 얻을 수 있습니다. 

전체 전기장 값을 구하려면 저렇게 구해낸 미소전기장 값을 모두 하나하나씩 구해서 다 더해야합니다. 그게 중첩의 원리인데요. 점전하 상태라면 그게 가능하겠지만, 저렇게 연속적인 전하분포인 상태에서는  그게 힘듭니다. 따라서, 적분을 사용할 거에요. 

여기서 잠깐. 우리는 주목해야할 것이 하나 있습니다. 바로 '미소면적' 인데요. 연속적인 전하 분포 상에서는 미소 전하량에 각각 대응되는 값이 있습니다. 지금은 미소면적이므로 아래 중에서 2번에 해당하겠습니다.

그러면 다시 돌아와서, 위에 미소전기장을 중첩의 원리를 이용하여 구해보도록 합시다.

 이게 구 표면에서의 전기장 값이 됩니다. 

자, 다음으로 그래디언트 표현법을 보겠습니다. 이 그래디언트 표현법이라는 것을 사실 발산정리에서 기인했습니다. 벡터미적분학에 이 내용을 적었어야 했는데  아직 적지 못했네요 ㅠㅠ

▶ 발산 정리 (Divergence Theorem)

- 유계된 영역이 매끄럽고 부드러운 곡선에 의해 폐곡면인 상태라면, 면적을 통과하는 전기선속, 자기선속의 유량(Flux)은 다음과 같은 공식을 통해 구할 수 있습니다.

1) 속도 선택기

속도 선택기는 전기장과 자기장의 이론을 바탕으로 합니다.  자기장에서  서로 다른 부호를 가지는 두 대전된 판이 놓여 있다고 합시다. 그렇다면 자기력 F=qvB와   전기력 F=qE가 발생할 것입니다.  

이러한 꼴을 보면 전자가 올 곧게 통과하기 위해서는 전기력과 자기력의 크기가 같아야 함을 짐작할 수 있습니다. 그러면  qE=qvB 라고 둡시다.  그러면  속도에 대한 식은  E/B가 v와 같다라고 나오게 되네요.  이것을 통해 우리는 전자가 편향되지 않고 이동시킬 수 있도록 '속도'를 조절하는게 가능하다고 하여  위의 기기를 '속도 선택기' 라고 부릅니다.

2) 톰슨의 e/m 실험

톰슨은 전자를 발견한 과학자입니다. 정확히 따지자면 전자의 전하량이나 크기를 밝힌 것이 아니라 전자의 존재를 밝힌 것이고  실험을 통해 e/m라는 실수값을 얻은 것입니다.  이것이 어떻게 나왔는지 한번 유도해보도록 하겠습니다. 

이런 식으로  속도 선택기를 통해 구해내게 된 것이죠.

3) 질량 분석기

- 질량 분석기는 톰슨의 제자인 애스턴이 만들어낸 것입니다. 이온의 질량을 측정하는데 사용되었습니다. 

대표적인 결과물이 네온의 질량이 두 종류가 있다는 것을 통해 '동위원소'의 존재를 밝힌 것입니다. 

RLC회로란 교류회로에서 저항,인덕터, 캐패시터가 함께 존재하는 회로를 말합니다. 

교류회로란 전류가 흐르는 방향이 시시각각 바뀌는 것을 말합니다. 그래서 주기함수인 사인파,코사인파가 등장하게 되고 이게 이제 위상차를 발생시키는 것이죠.  RLC회로도 시작은 V=IR에서 출발합니다. 단, 우리는 RLC회로에서의 저항. 그러니까 총 교류회로의 저항을 Z로 새롭게 정의하고 이를 '임피던스' 라고 부르겠습니다.

현재 내용 요약

1) V=IZ  <V=교류회로의 총 전압 , I=교류회로의 총 전류 , Z=임피던스 (교류회로의 총 저항)>

자, 그러면 Z는 무슨 성분으로 이루어졌는지 함께 보도록 합시다.

R은 RLC회로에서 기본저항소자 R을 뜻합니다. / X_L은 유도리액턴스를 뜻합니다. wL로 나타내구요. 

X_C는 용량리액턴스를 뜻합니다. 1/wC로 나타냅니다. 여기서 말하는 w는 각진동수를 뜻하므로 2πf

를 의미합니다. 이들의 위상차를 좌표평면 상에다 나타내 보겠습니다.

보시면 유도리액턴스는 기본저항소자에 비해 위상차가 90도만큼 존재합니다. 보시면 +Y축방향이죠? 90도만큼 빠릅니다. 그리고 용량리액턴스는 기본저항소자랑 위상차가 90도만큼 존재하지만 90도만큼 느립니다. 

따라서, 이 셋의 벡터합을 구해보면 위 그림처럼 나오게 됩니다. 저기선 V_L , V_C이라고 써놨네요. 

그러면 우리는 이렇게 생각해볼 수 있습니다. 만약 전압이 일정하다면 전류와 임피던스는 서로 반비례 관계일 것입니다. 

그러면 용량리액턴스와 유도리액턴스의 값이 같아야 저항이 최소가 되고 전류가 최대가 될것입니다. 

그러면 용량리액턴스=유도리액턴스로 놓고 여기서 외부의 진동수와 내부의 진동수가 같아지는 지점을 찾아봅시다.

 이 주파수를 '공진 주파수' 라고 부릅니다. 

위 법칙은 일단 키르히호프 법칙에서 더 나아간 심화 회로이론입니다. 키르히호프 법칙은 이 블로그에 설명을 해놨지만 복습차원에서 다시 한번 간략히 알려드리고 시작하겠습니다.

1. 키르히호프 법칙

- 키르히호프 법칙은 2개의 개념을 바탕으로 합니다. 

2. 키르히호프 법칙 예시문제

위 문제를 보면 전류의 방향이  동일하지가 않은데 상관은 없습니다. 다만, 저는 편의성을 위해  기준이 될 전지를 딱 하나 잡고 시작합니다. 위 사진에서 저는 E1을 기준 전지로 잡겠습니다. 아래 풀이를 보시죠.

제가 이런식으로 여러 방정식을 세웠습니다. 이제 이에 대한 연립방정식을 세워서 풀어주면 각각의 전류를 구할 수 있게 됩니다. 어렵지 않을것입니다. 

이게 키르히호프 법칙의 기본인데요. 이번에는 좀 더 어려운 회로를 보도록 하겠습니다.

2. 휘트스톤 브릿지 (2020학년도 연대 편입물리 기출로 나올 가능성 多)

이 회로의 이름은 휘트스톤 브릿지입니다. 그리고 'G' 표시가 되어있는 것은 검류계를 의미합니다. 저 검류계의 값이 0일 때, 그리고 3개의 저항을 알고 있을 때  우리는 미지저항을 구할 수 있습니다.  위 그림에서의 미지저항은 R4라고 합시다.

그리고 R1은 100옴,  R2는 200옴 R3는 150옴을 기록하고 있다고 가정합시다. 이 때, R4의 저항을 구하는 공식은 

'R2*R3/R1' 입니다.  즉, R4과 이웃하는 서로 두 저항 (마주보는 저항)의 곱에다가 R4과 마주보는 저항 R1을 나눠주면

R4의 값이 나오게 됩니다. 

3. 무한 회로망

이러한 꼴로 계속 무한하게 그려진 회로도를 무한 회로망이라고 합니다. 위 회로는 모두 저항이 같다고 표시되있는데 

만약 A,B 사이의 저항 R을 R2라고 하고 A,B의 저항을 R1이라고 하겠습니다. 이 때의 무한 회로망에서 토탈 저항의 공식은 다음과 같습니다.

4. 정육면체 회로망  (2019학년도 연세대 편입물리 기출)

이러한 상태에서 A-B 사이의 등가저항을 구하는 문제입니다. 어렵지 않습니다. 다만 제가 포스팅만으로는 설명하기에 한계가 있는 문제라 느낌만 아시길 바랍니다.

먼저, a에 흘러들어온 저항을 R이라 합시다. 그러면 이 R은 분기점 법칙에 의해 R/3, R/3 , R/3으로 진행이 됩니다. 

1) 위 그림 상에서 먼저 아래로 향하는 저항도선을 봅시다. 얘는 분기되었으니까 R/3의 값을 가지는 상태에서 아래로 진행합니다. 이 때, 분기점을 만나게 되죠?  또 이 분기점에서 R/6, R/6 으로 나뉘게 됩니다. 

2) 이번에는 처음 분기점에서 b방향과 평행한 방향으로 진행하는 도선을 봅시다. 이녀석 역시 R/3인데 분기점에서 다시

R/6, R/6이 됩니다.  1)과 동일한 패턴입니다.  

3) 마찬가지로 남은 R/3 역시 분기점에 의해 R/6, R/6으로 분리가 됩니다.  마찬가지로 동일한 패턴입니다. 

4) 그렇게 R/6의 저항값을 가지고 흐르다가 다른 분기점으로부터 흘러온 R/6과 만나 다시 R/3의 값들이 됩니다. 

그런식으로 진행하다보면 b로 다시 나오게 되는 저항의 값은 R이 됩니다. 자, 그렇다면 성공입니다. 

우린 이제 A-B 사이의 등가저항을 구할 것인데요. 원칙적으로 정육면체 회로상에서 최단거리로 (대각선을 제외한) 갈 수 있는 루트에서의 저항값들을 더해주면 됩니다.  그러면 R/3 + R/6 + R/3 = 5R/6의 값을 가진다는 것을 알게 됩니다. 

개념묻는 문제로 출제될 확률이 꽤 높은 단원입니다. 먼저 파동함수부터 살펴봅시다. 여러분도 잘 알다시피 빛은 전자기파라고 불리우는 이유는 입자성과 파동성 성질을 둘다 띠고 있으며,  자기장과 전기장에 수직한 방향으로 진행하기 때문에 그렇습니다. 

그렇다면 우리는 이를 파동함수로 표현해보도록 합시다. 

자, 이게 파동방정식을 유도한 것인데요. 여기서 얻은 파동방정식에다가 맥스웰이 빛이 전자기파일 것이라는 예언을 하게됩니다. 바로 그 유명한 빛의 속도 공식입니다. 빛의 속도는 자유공간에서의 투자율과 유전율을 곱한 값에다가 제곱근을 취해줍니다. 그리고 그것을 역수 값을 구하면 3억m/s라는 값이 나옵니다. 익숙한 숫자죠? 빛의 속도입니다. 

전자기파의 그래프를 한번 봅시다.

보시면 앙페르의 오른 나사 법칙에 의해 전기장과 자기장의 벡터외적값은 빛의 진행 방향임을 눈으로 확인가능합니다. 

전기장과 자기장은 저렇게 수직한 형태로 진행을 합니다. 우리가 전자기학 열심히 배울 때 나온 개념들이 여기 다 나오죠?  

● 맥스웰 방정식

1) 전기장에 대한 가우스 법칙

- 전기장과 단면적 간의 벡터 내적값은  전체전하량/(자유공간에서의 투자율) 값과 같다는 이론입니다. 

2) 자기장에 대한 가우스 법칙

- 자기장과 단면적 간의 벡터 내적값은 0입니다.

3) 앙페르 법칙

- 자기장에서 미소도선에 대한 적분을 통해 도선 주변의 점에 미치는 자기장 크기를 구하는 공식입니다. 

비오&사바르 법칙과 함께 쓰입니다.

4) 패러데이 법칙

- 기전력이 단위 시간 당 변화하는 자기선속의 값에 비례한다는 이론입니다. 감긴 코일의 수가 많을수록 이 기전력은 강해집니다. 한편, 패러데이가 공식을 만들어냈다면 렌츠는 이 공식에서 '방향'을 알게 됩니다. 이 방향이 바로 유도기전력은 항상! 가해지는 힘을 방해하는 방향(반대방향)으로 생긴다는 이론을 보여주게 됩니다.

위 4가지가 맥스웰 방정식의 기본 개념들입니다.  이 이상은 일반물리의 범위는 아니므로 여기까지만 적겠습니다.

다시 돌아와서 우리는 위 전자기파 그래프에다가 '편광필터'를 적용하면 우리가 배웠던 말리스 법칙과 브루스터 편광각에 대한 원리를 알게 됩니다. 

말리스 법칙 = 편광된 빛의 세기를 구하는 공식입니다. I=I_max cos^2(Θ) 의 값을 가집니다. 여기서 말하는 세타는 전기장과 편광필터 사이의 사잇각을 말합니다. 말리스 법칙 올해 출제될 가능성 꽤 있다고 봅니다. 2년전에는 브루스터 편광각나왔고 작년에는 맥스웰 방정식 개념을 묻는 문제가 나왔습니다. 그렇다면 올해는 말리스 법칙이 나올 가능성이 있습니다. 

봅시다. 말리스 법칙은 다음 그림과 같습니다. 

선편광 법칙은 이렇게 편광필터가 2개이상일 때 적용됩니다. 선편광이란 편광되지 않는 초기의 광원이 편광필터에 처음 입사되었을때의 세기는 평균적으로 초기광원세기의 절반이라는 의미입니다. 그래서 가끔은 절반의 법칙이라고도 불립니다. 그 뒤로부터는 이제 말뤼스 법칙 공식을 그대로 적용합니다. 

마지막으로 브루스터 편광각 봅시다.

- 브루스터 편광각이란? 100% 굴절이 일어나는 각도를 의미합니다. 스넬의 법칙에서처럼 입사광선이 굴절률이 다른 경계면을 뚫고 들어갈 때, 일부는 반사되고 일부는 굴절합니다. 이 때, 반사광선의 진행방향과 경계면에서의 입사광선의 진동방향이 '일치'해지는 순간 반사광선은 사라지고 100% 굴절광선만 일어나게 됩니다. 이게 뭐냐하면요

이렇게 초록색 선이 광선의 진동방향이라고 합시다. 근데 이 광선의 진동방향이 반사파의 진행방향(빨간선)과 일치하게 되는 그 순간의 각도를! 우리는 브루스터 편광각이라 하는겁니다. 

왜 이런 현상이 일어나게 되었는가? 그 답은 전자기파가 횡파이기 때문입니다. 횡파!  횡파란 사인파,코사인파처럼 축과 수직한 방향으로의 진동이 일어나는 파동을 말합니다.  

또한, 브루스터 편광각은 굴절파와 반사파사이의 각도가 90도일 때 일어납니다. 

회로의 꽃입니다.  키르히호프 법칙은 우리가 앞에서 배웠던  단순한 직렬&병렬&혼합병렬보다 좀 더 복잡한 회로를

쉽게 풀기 위한 법칙입니다. 

크게 2개의 법칙으로 나뉘어져 있습니다.

I) 1법칙 (분기점 법칙)

- 분기점 법칙은 간단합니다. 

저렇게 들어오는 전류는 '접합지점'에서 분류가 가능합니다. 다만 전류의 총량은  전하량 보존 법칙에 의해 변하지 않습니다.  전하량과 전류의 관계는 기억하고 계실거라 생각합니다. I=Q/t

따라서, 

위 법칙이 성립합니다. 

다음은 2법칙입니다. 

II) 2법칙, 폐회로 법칙 (=고리 법칙)

보시면 하나의 소회로에 고리를 각각 그려주고, 그림엔 없지만 이제 전체 회로의 고리를 그려줌으로써  위에 분기점 법칙과 함께 '연립 방정식' 을 만들게 됩니다.  

잠깐 쉬어가는 파트입니다. 어려운 개념은 아니구요.  우리가 지금까지 전기력과 그에 파생된 개념들을 다뤘습니다. 대부분 힘과 에너지였는데요.  이 두가지 다음으로 나오는게 '일'입니다.  여기선 전력이라고 부릅니다. 

다음 공식은  전압과 전류를 곱해서 나온 전력값입니다. 단위는 w(와트)입니다.  또는 J/s로도 표현합니다. 

전력의 정의는 다음과 같습니다. 

'전기적인 일률'  따라서, 전력은 단위 시간당 해준 전기적인 일이라고 볼 수 있겠습니다.  P=W/t 를 =VI로 표현해도 무방하죠. 그러면 저기서 W는 뭐라고 부르면 될까요?  바로 전력량입니다. 

전력량의 정의는 1시간 동안 사용한 전력의 양을 의미합니다. 따라서 시간의 단위는 1h로 봐야겠죠.  전략량의 단위는

Wh입니다. 만약 1Wh라고 한다면  3600J과 같다고 보시면 되겠습니다.