일반물리에서는 사실 미분형 가우스 법칙표현법을 배우진 않는걸로 압니다. 일단 가우스 법칙이 무엇인지부터 봅시다.
가우스 폐곡면은 Flux(유량) 라는 개념을 바탕으로 합니다. 제가 전기장에 대해 누누히 언급했는데, 전기장은 원천 전하가 주변에 영향력을 미치는 공간이라고 했습니다. 그 영향력을 행세한다는 의미로 우리는 그냥 선을 그려놓곤했습니다.
이런 식으로 말이죠. 저 선을 '전기선속' 이라고 합니다. 그리고 가우스 법칙은 곡면을 통과하는 전기선속의 양에 대해 설명하고 있습니다. 자, 그러면 적분형 가우스 법칙을 봅시다.
dA는 전체 폐곡면 상에서 임의로 정한 미소면적입니다. 우리가 앞에서 길이전하랑 고리전하했을 때처럼 말이죠.
즉, 전체 폐곡면을 통과하는 전기장들의 알짜합은 전체 전하량을 진공상태에서의 유전율로 나눈값과 같으며, 이를 전기선속이라고 부른다는 것입니다. 그러면 적분형 가우스 법칙과 미분형 가우스 법칙 사이에는 어떤 연관이 있을까요?
해답은 발산정리에 있습니다.
▶ 발산 정리 (Divergence Theorem)
- 주어진 공간도형의 정사영 면적을 S라고 하자. 공간도형은 모든 면이 폐곡면이고 연속인 2계 편도함수가 성립할 시, 정사영 S에 해당하는 폐곡면 적분값은 부피에 대한 적분 값 (Flux)과 같다.
이건 스튜어트 미분적분학에서 제가 배웠던 발산정리의 정의라서 물리에서는 조금 다르게 표현할 수도 있습니다. 아무튼 이 발산정리가 왜 가우스 법칙에 적용이 되느냐! 맨 위 그림을 보시면 원천 전하 q가 전기장을 형성시키고 있습니다. 그리고 그를 둘러싼 임의의 가우스 폐곡면이 설정되어있죠? 이 때, 미소면적 dA는 가우스 폐곡면의 표면에 위치합니다. 즉, 이 미소면적에 대한 적분값이 곧 원천 전하 q가 내뿜는 전기선속(Flux)의 알짜합과 같다는 말이기 때문입니다.
그래서, 우리는 이렇게 표현이 가능합니다.
저기 '델' 기호는 발산을 뜻합니다. 전기장과 델의 내적값이 알짜 전기선속과 같습니다. 또는 위 공식을 이렇게 표현하기도 합니다.
D의 경우는 특정한 영역에서의 전기장벡터를 의미합니다. 아직 제가 이부분에 대해서는 자세히 알아보진 공부해보진 못했고 저런 표현법이 있다는 것만 알고 있습니다. 그리고 왼쪽 식의 경우는 적분값을 제외했으므로, 당연히 전체 전하량이 아닌 부피 전하밀도로 표현해야한다는 것정도는 유추가 가능하실겁니다.
위의 법칙을 가우스 법칙 혹은 맥스웰 방정식 1번이라고 부르기도 합니다.