Crush on Study

옴의 법칙은 저항의 법칙이라고 불립니다.  저항이란 어원 그대로 전류의 흐름을 방해하는 녀석. 즉, 저항 소자를 통과하기 위해서 에너지를 소모하게 만드는 것이라 보시면 됩니다. 

저번 포스팅에 기전력과 함께  'V=IR' 이란 것을 제가 적어드렸습니다.  사실 전압과 전류는 서로 비례 관계입니다. 

근데 제가 비례식을 방정식으로 바꾸기 위해선 '비례 상수'를 추가해주어야 한다고 했습니다. 여기서의 비례 상수가

바로 저항 R입니다.

한번 봅시다. 긴 막대 도선이 있다고 생각합시다.  이 도선에 흐르는 전류의 힘을 낮추기 위해선 어떤 작용이 필요할까요?  일단 단면적을 작게 만들어야 합니다. 따라서 저항 R은  단면적 A와 반비례 관계를 가집니다. 

그리고 또 하나. 도선의 길이를 길게 만듭니다. 생각해보세요.  거리가 멀수록 지치기 마련이니까요.

따라서 저항 R은 길이 l과 비례 관계를 가집니다. 그러면  비례식이 대충 세워졌고  여기에 적당한 상수값을 취해주면

방정식이 나오게 됩니다. 그게 다음과 같습니다.

비저항입니다.  비저항은 표로 많이 주어질겁니다. 구리 도선의 비저항 이런식으로요.  기억해야할 것은 비저항의 역수입니다. 비저항의 역수는 전기전도도인데 이는 그리스 소문자로 '시그마'로 표현됩니다.  그리고 이 전기전도도는 바로 전에 적어드린 전류밀도의 공식과 밀접한 관련이 있습니다. 

위 공식이 이제 옴의 법칙에 근거한 전압을 구하는 방법입니다. 전류와 전압은 비례관계에 있다!

1) 직렬회로

전류는 전지의 +극에서 출발해서 -극으로 돌아온다고 했습니다. 이 때, +극에서 출발한 전류는 첫번째 저항소자인 R1에 도달하기 전까지 항상 일정합니다. 전압도 동일하죠. 그 이유는 등전위면이기 때문입니다. 이제 저항소자를 만나게 됩니다. 그러면 저항소자에서는  에너지 소모를 일으키게 하기 때문에  처음의 전압보다 감소된 전압값을 갖게 합니다. 저항소자를 다 지나고 이제 다시 음극으로 돌아오기 전까지  전압값은 0입니다.  그리고 다시 전지에서 전하를 충전받고 싸이클을 돌리게 되죠.  이게 이제 기본적인 회로의 흐름입니다. 

기억하실 것은 이겁니다.

 직렬회로에서 전류는 모든 구간에서 같습니다. 회로를 생각할 때는 전류의 입장에서 보는게 쉽습니다.  직렬은 전류의 분리가 일어나지 않는다. (전하량 보존의 법칙) 따라서 V=IR 상태에서  I가 고정된 값이므로 V와 R은 정비례 관계에 있다.  이게 직렬회로의 특징입니다.  다음은 병렬회로를 보겠습니다.

병렬에서는 전류의 분리가 일어나기 때문에  각 구간마다 다릅니다. 사실 회로는 이 다음에서 배울 키르히호프 법칙에서 자세히 나오기 때문에 지금은 저 표에 적은 것대로만 외우시면 됩니다.  병렬회로에서는 전압이 모두 일정한데  그러면

V=IR에서  전류와 저항은 서로 반비례 관계. 그러므로 저항은 역수값을 취하게되었다.  이렇게만 아시면 이번 포스팅은 어려울게 없습니다))

전기는 전류의 흐름을 통해 생성됩니다.  앞에서 이제 전기를 배웠으니 그것의 원천, 핵심인 전류에 대해 배웁시다.

전류란? 단위 시간 당 흐르는 전하량으로 I로 표현합니다. 단위는 A(암페어)입니다. 단위 시간 당 흐르는 전하량이므로 

I=Q/t라고 표현할 수 있겠네요. 여기서 하나 조심해야할것이 있습니다.  이제 여러분들은 곧 회로를 접하게 되실텐데 그 때보시면  전류는 +극에서 출발하여 -극으로 도착하는 방향을 띱니다.  다만 도선 내에 존재하는 자유전자들은 전류의 방향과 반대로 흐르게 됩니다. 즉, 자유전자는 -극에서 +극으로 가게 됩니다.  아직 중요하게 생각하진 않아도 됩니다.

* 전류는 +극에서 -극으로 , 자유전자는 -극에서 +극으로 이동한다.  이거만 일단 알아두도록 합니다. 

한편, 이 전류란 것에도 '세기'는 존재합니다. 따라서, 단위 면적당 전류의 값. 즉, 전류밀도를 통해 얼마나 밀한지, 또는 소한지 알 수 있습니다.  전류 밀도는 J로 표현하고 I/A로 구합니다. (전류/단면적)

사실 전류밀도는 크게 중요하진 않으나 이제 전자기학 마지막에서 나오는 맥스웰방정식에 대해 배울 때  잠깐 필요하기 때문에  이 포스팅은 읽어만 주세요. 

전류 밀도는 그냥 이렇구나라고만 알아두세요. 가끔 연대 편입물리 시험에서 이런식으로 물어볼 가능성이 있습니다. 

' 전류 밀도가 뭐냐?'  그러면 그냥 저렇게 유도해주시면 됩니다. 이부분은 저도 깊게는 안다뤄서...

이번에는 기전력입니다.

기전력은 입실론으로 표현하는데  사실 이게 전압이랑 똑같은건지 많이 헷갈려합니다. 

사실 이게 과거에는 그러니까 전압이 전위차라는 것을 몰랐을 당시에, 전류가 흐르도록 하는 힘이 있다는 것을 알곤 있었습니다.  그 힘을  과거에는 '기전력'이라고 불렀었습니다.  뭐 이렇게 말해도 사실 잘 이해가 안될겁니다. 

그래서 저는 그냥 기전력을 배터리와 같다고 생각하라 합니다.  회로를 보시면 전지있죠? 그 전지를 그냥 기전력이라고 받아들이곤 했습니다. 

다만, 이 기전력(전지)은 내부저항 값까지 고려한 것이기 때문에 V=IR이 아닌 ε=IR+Ir 로 표현하곤 합니다. 

r은 내부저항 R은 외부저항을 뜻합니다.

먼저 이전 시간에 우리가 배웠던 것을 짧게 복습하고  시작합시다.  

우리는 지금까지 전기력, 전기장, 전위, 전위차에 대해서 배웠습니다. 이 들에 관한 상관관계를 적자면 이렇습니다.

전기력 : 두 점전하 사이에 작용하는 힘을 의미한다.

전기장 : 시험 전하를 제거하고 원천 전하가 주변 공간에 미치는 세기를 의미한다.

전위 : 전기 포텐셜 에너지 혹은 전기적 위치 에너지라고 불린다.  전기력에 움직인 거리만큼에 대한 적분을 해준다. 

중력장에서의 위치에너지 mgh와 같은 맥락으로 이해하라!

전위차 : 전위차는 전기적 위치에너지의 차이를 의미하며, 우리가 하는 볼트(전압)을 의미한다. 

이 밖에도  점전하(정지된 전하)가 아니라 연속적인 전하 분포를 이루고 있는  여러 물체에 대한 전기장을 구하는 방법으로는 가우스 법칙과 선,면,체전하밀도가 있었습니다.  가우스 법칙은  전기선속을 구할 때  전기장과 단면적에 대한 벡터 내적은  전하량을 진공 상태의 유전율로 나눈 값과 같다는 식을 의미했습니다. 

가우스 법칙을 적용하기 위해서는 균일한 전기장이여야 하며 대칭적인 폐곡면으로 설정해야 하기 때문에  보통 구 형태나 원통 형태로 설정하는게 일반적이였습니다.  

마지막으로 등전위면에 대해서도 배웠었죠?  같은 전위면 상에서의 전하의 움직임은 일을 한 것으로 치지 않기 때문에 W=0이다. 그리고 다른 위상으로의 전하 이동은  전위의 변화를 일으키며 그에 따른 운동에너지의 변화도 생김을 통해 전기력은 보존력이구나를 알게 되었습니다. 

자, 여기까지 술술 말할 수 있으면  여러분들은 지금 전기파트의 절반은 이미 해낸 것입니다. 오늘할 것은 축전기와 전기용량입니다. 

축전기란? 전하를 저장하는 소자입니다.  건전지같은 개념이죠. 여러분들이 은행에다 돈을 맡겨놓고 일부를 인출한 뒤 그것을 다쓰게되면 다시 은행에서 돈을 찾듯이,  축전기는 전하들의 은행이라고 생각하시면 되겠습니다. 

근데 축전기들이라고 해도  성능이 좋은 축전기가 있고 그렇지 않은 축전기가 있습니다. 이 성능을 판단하는 것이 바로 함께 배울 '전기용량' 입니다. 

마우스 커서가 함께 찍혔네요.  어쨌든 Q는 전하량 , C는 전기용량이고  V는 전압(전위차)입니다. 왜 저런 공식이 탄생했는지 유도해보겠습니다. 잘 읽어주세요.

보시면 축전기는 평행한 두 대전판으로 왼쪽에서 들어오는 전하 Q가  차곡차곡 오른쪽으로 쌓이게 되는 모습을 보이고 있습니다. 얼마나 많은 전하를 담을 수 있느냐를 판단하는게  전기용량 C고  많은 전하를 담을 수록 성능이 좋은 축전기라고 했었습니다. 

1) 면적 :  일단 면적 A가 넓어야겠죠? 그래야 더 많은 전하를 담을 수가 있으니까요.

2) 거리 : 그 다음은 거리입니다. 거리는 짧을 수록 좋습니다. 같은 시간 동안 전하가 쌓이는 정도를 상상해보면 평행판 사이의 거리가 좁을수록 더 많은 전하가 쌓이게 됩니다. 그러면 다음과 같은 공식이 나오게 됩니다.

비례식을 방정식으로 바꾸기 위해 진공 상태의 유전율인 입실론제로를 곱해주었습니다.  비례식을 방정식으로 바꾸려면 상수를 곱해야 한다는 것은 제가 네이버 블로그에다가 화학 포스팅할 때 많이 보셨을거라 생각합니다. 

자, 그러면 Q=CV에서  이제 C를 보았습니다. 이번엔 V를 봅시다. 전위차는요  전기적 위치에너지에서 시험전하를 나눠준 값과 동일합니다.  근데 이 값은 전기장에서 거리를 나눠 준 값과 동일합니다. 아래를 보시죠.

자, 그러면 이제 우리는 저기서 E를 구했고 V/d라는 사실을 알고 있기 때문에  V/d와 축전기 전기장 값을 같다고 놓는다면  다음과 같은 식이 나옵니다.

그러면 좀 전에 우리는 전기용량에 대한 공식이 저기 유전율와 면적 그리고 거리에 대한 개념이라는 것을 알고 있기 때문에  Q=CV가 맞다는 것을 알게 됩니다. 

전위라는 것은  전기적 위치에너지를 뜻합니다.  중력장에서의 위치에너지가  질량*중력가속도*높이 였다고 하면  여기서도 비슷하게 생각하시면 됩니다.  전하량*전기장*거리입니다.  즉, 적분을 이용하여 표현하면 다음과 같습니다.

전기력은 전하량(시험전하)*전기장이니까요.  그렇다면 우리는 지금 전위와 전기력와 전기장에 대한 상관관계를 대략적이나마 알게 되었습니다.

어렵지 않죠?  근데 이 전위에 대한 중요한 개념이 하나 등장하는데  그게 바로 '등전위면' 입니다. 잠깐 앞에서 설명드렸을거에요.  이 등전위면의 특징이 뭐냐하면 다음과 같습니다.

1. 등전위면이란 같은 전위끼리 선으로 이은 것을 의미하며, 등고선과 비슷한 개념이라 보면 된다.

2. 등전위면의 간격들이 조밀하다는 것은 강한 전기장이 흐르고 있음을 의미한다.

3. 등전위면에 수직한 방향이 전기장의 방향이다.

4. 같은 전위면에서의 전하 이동은 W=0이다. 즉, 일이 0이라는 뜻이다.

5. A라는 전위면에서 B라는 전위면으로 '내려 갔다' 라고 가정하면  W은 0이 아니게 되고, 전위값은 감소하지만 그에 따라 운동에너지는 증가한다. 즉, 전기력은 보존력이므로 에너지 보존 법칙이 성립한다는 것을 알 수 있다. 

위 5가지 성질은 꼭 알아두시길 바랍니다. 

전위차란? 

- 전위차는 우리가 익히 잘 알고있는 V (볼트) 전압을 의미합니다. 전위와 전위차의 상관관계는 다음과 같습니다.  전위값에서 전하량을 나누면 그게 전위차가 됩니다. 

'구각 정리란?'

구각 정리는 연세대 편입물리 기출에 나왔던 문제입니다. 사실 이는 만유인력 파트에서 자세히 다룰것이지만 전자기학에서도 소개가 되기 때문에 간략히 알려드리고 추후에  역학 게시판에 자세히 기술하겠습니다. 

대전된 도체 구 내부에  하나의 전하가 투입되었다고 가정하겠습니다. 이 전하가 만약 도체 구 내부의 중심이 아닌 곳에 위치했다고 하면 이 전하를 중심으로 '케플러 3법칙'이 형성될 것입니다.  

보시면 보기에는 다른 면적값을 가질 것 같지만 실상은 똑같습니다. 그리고 도체 내부에서 저 두 면적의 '합력'은 0입니다. 따라서 구각정리에 의해 대전된 도체 내부의 전기장은 0이다! 라는 결론을 내리게 됩니다. 이는 굉장히 중요한 법칙으로 꼭 알아두시길 바라겠습니다. 

가우스 법칙을 설명하기에 앞서 먼저 전기선속에 대한 이야기를 해야합니다.  전기선속은 전기력선 다발이라고 생각하시면 됩니다.  자세히 말하면 어떠한 단면적을 통과하는 유한한 전기력선 다발인데  아래 그림을 봅시다.

 다음과 같은 그림이 있을 때, 우리는 Φ (파이라고 읽습니다.)은 E와 A의 벡터 내적과 같다. 라고 정의합니다. 

파이는 전기선속을 의미합니다. 전기장과 단면적의 벡터 내적이므로,  전기장*단면적*cos세타가 됨을 알 수 있습니다. 

비록 위 그림에서는 전기장과 단면적의 방향이 서로 같아 세타가 0이지만 꼭 같은 상황만 있는 것은 아니니 염두해 두기로 합니다.  세타가 0도일 때는 전기선속의 값은 EA로 max값 입니다. 그리고 90도일 때는 전기선속의 값은 0입니다. 한편, 세타가 180도 일때는 전기선속의 값은 -EA로 방향이 반대입니다. 

다만 모든 면적이 저렇게 간단하게 나와있진 않는데 좀 더 다양한 물체에서의 전기선속을 구하고자 탄생한 법칙이 바로 가우스 법칙입니다.  가우스 법칙은 다음 공식을 따릅니다. 

가우스 법칙은 모든 상황에서 적용되는 것은 아닙니다. 2가지 조건이 성립되야 하는데  다음과 같습니다.

1) 균일한 전기장이여야 한다. 

2) 대칭적인 폐곡면으로 설정해야 한다.

아직 개념이 잘 안잡히실수도 있기에  가우스 폐곡면이 무엇인지 다시 한번 짚고 가겠습니다. 전기장은 수많은 물체들을 통과하게 됩니다. 근데 물체란 것이 99%는 비대칭적이고 균일하지 않은게 많기 때문에, 임의로 우리가 균일하고 대칭적인 면을 설정해줌으로써  전기선속을 구하려는 것입니다. 이 임의의 면. 가상의 면을 가우스 폐곡면이라 합니다. 

 <위 그림의 출처 - 티스토리 블로그 'appleii'>

이에 따라 선전하와 면전하도 여러분들이 적용할 수 있을겁니다. 다만, 선전하와 면전하의 경우는  점전하와 달리 연속적인 전하 분포를 띠고 있기 때문에  선전하밀도와 면전하밀도 개념을 도입해야 합니다. 

전자기학 첫번째 시간입니다. 고전역학과 달라보이지만 그 맥락은 비슷합니다.  고전역학이 중력에 의한 현상을 다루는 학문이라면 전자기학은  전자기력에 의한 현상을 다룹니다. 

자기에 관한 내용은 전기에 관한 내용이 끝난 뒤에 다루도록 하겠습니다.

- 전기력이란? 두 점전하 사이의 힘을 의미하며, 쿨롱 힘이라고도 부릅니다.  

위 공식과 함께 외워야할 것은 전자와 양성자의 전하량입니다.  전자는 -1.602*10^-19 이고 양성자는 값은 같으나 부호가 다릅니다. 이 3개는 꼭 알아두시길 바랍니다.  이에 관해 간단한 문제를 한번 보겠습니다. 

어렵지 않은 문제입니다. 이제 전기장의 정의를 알아보겠습니다.

- 전기장이란? 원천 전하 (source)가 주변에 영향을 끼치는 공간을 의미합니다.

전기력 공식을 보시면 전하가 2개 나타나 있습니다. 이 때, q1을 원천 전하라 하고 q2를 시험 전하라 해봅시다. 전기력이란 것은 두 점전하 사이의 힘을 의미한다고 말씀드렸었죠? 여기서 시험 전하를 빼버린다면  원천 전하인 q1만 남게 됩니다. 그렇다고 이 원천 전하가 아무 일도 안하는 것은 아닙니다. 단지 원천 전하의 매력을 알아보는 인물이 없을 뿐, 원천 전하는 지속적으로 본인의 매력을 뽐내고 있습니다. 그렇다면 전기력과 전기장 사이에는 어떤 관련이 있을까요? 공식으로 표현하자면 다음과 같습니다.  'E=F/q'  왜 이런 공식인가요? 답은 이미 제가 위에서 설명해드렸습니다.  시험전하를 전기력에서 나눠버리면  원천전하에 관한 공식이 됩니다. 즉, 전기장에 대한 공식이 된다는거죠.  아래 그림보시죠.

위 그림을 보시면 +전하는 주위로부터 매력을 발산하고 있고 -전하는 반대로 매력을 흡수하고 있습니다.  

원천전하가 주위로부터 어떻게든 영향력을 끼치고 있음을 알 수 있습니다. 그리고 우리는 저 많은 화살표들을

'전기력선' 이라고 부릅니다. 

전기력선은 가상의 선이지만 이해를 돕기 위해 물리학에서 빈번히 사용되고 있습니다. 전기력선의 방향은 곧 전기장의 방향을 의미하구요. 전기력선과 수직인 면을 우리는 '등전위면' 이라고 부릅니다. 이는 뒤에서 전위를 배울 때 다시 나올 개념입니다.  등전위면이란 전기적 위치에너지가 같은 면을 뜻합니다. 

마지막으로 개념 하나만 더 설명하겠습니다. 쌍극자 모멘트에 대한 이야기입니다. 쌍극자 모멘트는 두 점전하 사이의 거리와 전하량을 곱한 값을 의미합니다.  p=q*d 로 표현하는데  쌍극자 모멘트는 전자기학에서 쓰이는 토크를 설명할 때 쓰이는 개념입니다. 지금은 잠깐 맛보기로만 설명하겠습니다. 

두 전하를 원점으로부터 떨어졌다고 생각하면  두 전하는 위치벡터로 표현이 가능합니다. -q와 원점 사이의 위치벡터를 r1이라 두고, +q와 원점 사이의 위치벡터를 r2라고 두겠습니다. 그렇다면 벡터의 차 r2-r1의 값은 -q,+q 사이의 거리와 동일합니다. 그렇다면 위 그림에서와 같이 q*d=p라고 나와있으므로 이 전기 쌍극자 모멘트에 전기장 E와 벡터 외적 시킨값이 곧 토크의 알짜합력이 되겠습니다.