Crush on Study

등속 원운동을 봅시다. 원래 운동은 크게  직선운동이거나 원운동으로 나뉩니다. 오늘할 것은 이제 원운동의 기초입니다. 

보시는 바와 같이 구의 접선(빨간색)과 법선(초록색)이 보입니다. 이들은 각각 가속도에 해당합니다. 접선가속도는 방향을 바꾸는 용도구요. 우리가 볼 것은 법선가속도인 '구심 가속도'입니다.  구심 가속도는 우리가 아는 F=ma에서의 가속도와 조금 다릅니다. 

바로 이것입니다. 아래첨자 c는 center 뭐라했던거 같은데 잘 기억이 안나네요. 아무튼 R은 원운동의 반지름이 되겠습니다.  그러면 뉴턴역학에서처럼 원운동이 가지는 힘을 정의하려면 저 구심가속도에 물체의 질량 m을 곱하면 됩니다.

그렇죠? 

따라서, mv^2/R가 구심력이 됩니다. 

원운동도 직선운동과 틀은 똑같습니다. 힘, 질량, 가속도, 속도, 시간 등등이 있죠. 여기서 주목할 것은 시간입니다. 원운동에서는 이를 주기라고 부르는데 단위는 s입니다. (초) 주기라는 것은 한바퀴를 도는데 걸린 시간을 의미합니다. 

그러면 원에서의 한바퀴는 2π와 같을 것입니다. 이를 주기 T로 나누면 '각진동수 w'가 나오게 됩니다. 

각진동수의 단위는 rad/s입니다.  

이제 문제 두개 정도 풀어보겠습니다.  

1) 원뿔 진자

자, 원뿔진자봅시다. 이게 장력이랑 다른게 뭐냐면, 장력은 위에 매달린 실과 벽 사이의 각도를 고려하는 것인데 원뿔진자는 법선과 실 사이의 각도를 고려하는 것입니다. 

그리고 단순히 왔다갔다 하는 운동이 아니라 원을 그리며 빙빙 돕니다. 따라서 '구심력'이 작용한다는 것을 기억하고 있어야합니다. 

분석을 해봅시다.

쉽죠? 근데 저기서 보면요. v^2/r은 구심가속도를 의미한다는 것을 알 수 있습니다. 그리고 v를 이용해서 주기도 구할 수 있구요.  2πr이 원주가 되니까, 거리 개념이죠? 이걸 속력 v로 나누면 시간개념인 주기 T가 나올것입니다. 뭐 다 응용입니다. 기초들을 퍼즐처럼 맞춰서 구해주는거죠. 

2) 원운동에서의 수직 항력

- 예시로는 대관람차가 있겠습니다. 

이런 상태에서는 수직항력이 다 다릅니다. 자, P점에서의 수직항력을 구해볼게요.

사실 P점이 아니라 모든 점에서 이게 다 성립해요. 그래서 A점에서 가장 큰 수직항력을 가지고  C점에서 가장 작은 수직항력을 가집니다. 

마찰력이란 접촉력의 일부로  현재 운동하는 것에 저항하는 힘을 말합니다. 

마찰력은 수직항력에 비례합니다. 수직항력이란 중력가속도에 질량을 곱한 값으로  물체의 무게와 그 값이 같습니다. 

제목에도 써놨지만 마찰력은 크게 두 가지로 나뉩니다. 정지마찰력과 운동마찰력입니다. 

우리가 물체를 움직이기 위해서 최소한 요구되는 힘을 주어야만 합니다. 마치 광전효과에서 문턱진동수와 같은 느낌? 또는 반응이 일어나기 위한 활성화에너지? 같은 느낌이라 보시면 됩니다.  여러분들은 살면서 어떤 박스를 밀 때, 처음에 힘을 빡주어야 움직이는 것을 느꼈을 겁니다. 그 후엔 힘을 조금 줄여도 충분히 이동이되죠. 그걸 나타낸 그래프가 

바로 아래입니다.

이에 대한 공식은 다음과 같이 정리됩니다.

위에 s첨자가 정지를 뜻하며, k는 운동을 뜻합니다. 별거는 없습니다. 그저 우리가 힘을 나타낼 때 F=ma로 나타냈다면 

저기 F에 반대되는 방향으로 F-f_k=ma다. 이렇게 표시만 해주면 되거든요. 

다음은 유체저항을 봅시다. 유체저항은 공기중에서의 저항 혹은 물에서의 저항같은 것을 말합니다. 유체란 것이 뭐냐면 액체,기체를 통틀어서 지칭하는 말입니다. 지금까지 우리가 하는 것은 강체에 대한 역학이구요. 

잠시 쉬어가는 의미에서 고전역학의 커리큘럼을 설명드리자면 이러합니다.

고전역학이라는 큰 틀에서 뉴턴역학,회전역학,만유인력, 유체역학, 파동과 진동역학, 열역학  이렇게 나눌 수 있습니다. 

지금 여러분들은 여기서 뉴턴역학을 배우고 계십니다.

자, 다시 돌아와서 유체저항을 봅시다. 유체저항에 대한 주요개념은 '종단속력'입니다. 얘도 사실 어디까지나 물체에 대한 저항을 바탕으로 하기 때문에 바탕은 비슷합니다. 

 저속과 고속에 대한 기준이 딱히 나와있진 않으나 제가 봤을 때 저속은 액체, 고속은 기체에서의 저항이라고 보시면 편할 듯합니다. 자, 그러면 이들에 대한 공식도 따로 정리해겠습니다. 둘다 공식 유도는 똑같으니까 저속에서의 유체 저항만 고려해서 종단속력을 보겠습니다.  

종단속력이란 위 운동이 끝나는 순간의 속력을 의미합니다. 따라서, 아래로 떨어지는 힘인 mg와 그에 저항하는 힘 kv가 합력을 이루면 mg-kv=0이다. 이거죠. 이를 v에 대한 식으로 나타내면 끝입니다. 그게 종단속력이에요.

뉴턴의 운동 법칙 응용 법칙은 사실 간단해보이지만 나름 난이도를 높일 수 있는 문제 중 하나라고 생각됩니다.

먼저 도르래 문제부터 봅시다.

위 문제를 봅시다. 도르래문제에서 가장 많이 착각하는 것이 추에 대한 장력과 손으로 잡아당기는 장력이 서로 다른  것인가? 입니다. 결론은 같습니다. 이것만 꼭 기억하십쇼. 

"실이 여러개가 아닌 하나라면 그 실에 작용하는 모든 장력은 동일한 크기를 갖는다."

만약 저기서 손이 아니라 다른 물체가 매달려있다고 합시다. 그 물체를 m2라 하구요. 기존의 추를 m1이라 합시다.

우리는 이제 이 때의 가속도와 장력을 구해보도록 할 겁니다. 

아, 위에서 하나 더. 장력뿐만 아니라 도르래에서는 가속도의 크기도 동일합니다. 그니까, 손으로 잡아당기면 추가 올라가게 되죠? 그 때 손으로 내린만큼의 가속도랑 추가 올라가는 가속도랑 둘이 크기는 똑같다 이겁니다. 심지어 부호도 같아요. 결국에는 하나의 실이니까요. 그러면 이제 분석을 해봅시다. 만약 손이 아닌 물체 m2로 대체했을 때, m2가 아래로 내려가는 운동을 한다고 합시다.

이 때, m1을 분석해봅시다.  일단, m1은 y축운동만 하기 때문에 이것만 고려하면 됩니다. 왼쪽,오른쪽으로 운동하진 않으니까요. 그렇죠?

m1 -> T-m1g=m1a 입니다. 

이번엔 m2를 봅시다. m2에서는 반대로 장력보다 물체의 무게가 가지는 크기가 더 크기 때문에 아래로 내려갑니다. 그래서  m2g-T=m2a가 됩니다.  이것을 가속도&장력에 대한 식으로 나타내면 다음과 같습니다.

다 알려드렸으니 충분히 마무리 지으실 수 있을겁니다.  자, 이번에는 경사면일 경우를 봅시다.

여기서 등장하는 개념이 '수직항력' 입니다. 수직항력이란 지표면의 법선방향으로 저항하는 힘을 말합니다. 

만약 저 경사면의 끝부분에 실이 달려있고 그 실이 물체 m을 지탱하고 있다고 합시다. 그리고 그 때 힘의 평형을 이룬다고 합시다.  그러면 T=mgsinΘ 이라고 말할 수 있겠습니다. 위 그림에서 보시는 바와 같이 수직항력과 그에 대응하는 mgcos세타는 합력이 0이구요. 

만약 힘의 평형을 이루는 상태가 아니라 경사면 아래로 슬금슬금 상자가 이동하고 있다고 합시다. 그 때는 아래로 내려가기 때문에 가속도가 발생하게 됩니다. 별거 없습니다. mgsinΘ 가 ma와 같다는 말이 되니까요.  따라서 가속도는 gsinΘ입니다.

* 고전역학 오랜만에 쓰다보니까 경사면은 예전에 포스팅했던거 까먹고 다시 썼네요 ㅠㅠㅠ 죄송합니당.

그래도 복습하는 느낌으로 다시 보세요 ㅎㅎ

하나만 더 봅시다. 보통 장력 유형 문제는 꽤 정형화되있는 편인데 이거도 자주 나옵니다.

이러한 유형입니다. 여기서 m1이 아래로 내려가고 있는 경우라고 가정하고  장력과 가속도를 구해보도록 합시다.

제가 말씀드렸다시피 도르래문제에서는 전부 하나의 실로 연결되어있기 때문에 장력은 동일합니다. 가속도 역시 동일하죠.  F=ma가 결국엔 벡터량을 포함하고 있기 때문에 우리는 방향을 나눠서 생각하는 것을 당연히 여겨야 합니다.

m2부터 봅시다. m1이 내려간다는 것은 m2 역시 끌려가고 있다는 말입니다. x축 운동만 고려하면 되겠습니다. 

T=m2a 겠네요. 

그다음 m1을 봅시다. 얘는 고려해줘야 할 것이 이겁니다. 장력과 무게. m1g-T=m1a 라는 것이죠. 

자, 그러면 이렇게 나타낼 수 있네요. 

그러면 장력은 뭔가요? 저기에 m2만 곱해주면 끝입니다.  F=ma이니까요.  

F=ma에서 가속도는 하나입니다. 이게 무슨 말이냐면, 우리가 살면서 물체에 힘을 가할 떄 물체 하나에만 힘을 가하진 않을 것입니다. 뭐 상자를 밀 때  상자 하나가 아니라 상자 여러개를 같이 뒤에서 민다던가 그러한 일들을 말하는겁니다.

이 때 작용하는 가속도는 동일하다는 것입니다. 만약 다르다면 그건 과학에 위배되는 겁니다. 상자들을 밀고 있는데 갑자기 맨 앞에 있던 상자 지 혼자 앞서나가진다든가 그런 느낌으로 생각하시면 될겁니다. 

그렇다면 알짜힘에는 알짜질량*가속도라는 법칙이 적용한다고 볼 수 있겠네요. 이것은 물체가 따닥 따닥 붙어있을 때뿐만 아니라 줄에 연결되어서 떨어져있을때에도 적용합니다.

1) 두 물체를 미는힘

위 사진처럼 운동하거나, 아니면 A,B사이에 줄이 연결 (이 때 줄의 무게는 무시할정도로 작다고 가정)되어 있어도 

가속도는 동일합니다.

2) 경사면에서의 장력

위 그림을 봅시다. 장력이라 적었는데 위 상자를 잡아당기는 줄이 이제 보니 없네요. 그래도 만약 질량 M을 갖는 물체가

위 경사면에서 정지 상태라는 것은 T=mgsin세타를 말하는 것이니까, 괜찮겠죠?

그리고 경사면이 물체에 가하는 힘은 수직항력을 의미하니까 n=mgcos세타겠군요. 

뉴턴 법칙이 아마 이제 우리가 다룰 고전역학에서 가장 중요한 부분이 아닌가 싶습니다. 이 뒤에 나올 회전역학, 케플러법칙, 유체역학, 전자기학 모두 뉴턴법칙과 연관이 있습니다.

뉴턴의 운동법칙에는 총 3가지 운동이 있습니다.

1. 관성의 법칙

- 모든 물체는 관성계에서 운동을 하고있으면 계속 하려하고, 정지하고 있으면 계속 정지해있으려 한다.

귀에서 피나도록 들은 예시가 버스 안의 승객일겁니다. 버스가 급정차하면 안에 있던 사람들은 순간 몸이 쏠리는 현상이 일어나구요.  관성의 법칙을 공식으로 표현하자면, '알짜힘은 0이다.' 라고 나타낼 수 있습니다.

2. 가속도의 법칙

- 그 유명한 'F=ma'가 바로 뉴턴의 제 2법칙을 뜻하는 것입니다. 관성의 법칙과 다르게 알짜힘이 0이 아닌경우에 대해 설명하고 있습니다.  힘을 받은 물체는 가속도 운동을 한다. 이렇게 생각할 수 있습니다.

3. 작용&반작용 법칙

- 작용&반작용 법칙은 힘의 평형과 비슷해보이지만 차이가 있습니다. 힘의 평형은 물체 하나에 가해지는 서로 다른 방향의 그러나 똑같은 두 힘에 대해 말합니다. 그러나 작용&반작용 법칙은 두 물체에 대하여 똑같은 힘이 작용한다는 의미입니다. 

위 법칙 3가지를 모두 수식으로 표현하겠습니다.

위에서부터 1법칙, 2법칙, 3법칙입니다. 

고전역학의 시작. 물리로의 첫걸음인 단원입니다. 문과분들도 익숙한 거리,속도,시간에 대한 공식을 배우는 단원입니다.

간단하게 속도와 속력의 차이를 알아보고 2차원, 3차원에서 사용하는 등가속도 공식에 대해 알아보고자 합니다.

1. 속도와 속력의 차이

- 속도는 벡터 개념으로  크기와 방향을 동시에 갖고 있습니다.

- 속력은 크기만 가지고 있는 스칼라 개념입니다. 

가속도와 가속력도 마찬가지입니다. 

2. 2차원에서 사용하는 등가속도 공식

뭐 이거야 다 아실테고, 바로 포물선 공식으로 넘어가겠습니다.

3. 포물선에서 사용하는 등가속도 공식

- 포물선에서는 중력가속도의 개념이 추가되고 또 수직, 수평의 합인 사잇각개념이 추가됩니다.  최근 연세대 편입물리 기출 추세나  중앙대 물리학과 준비하시는분들은  이제 물리시험이 스피드싸움이 되었기 때문에 간단히 공식만 적어드리겠습니다. 급하신분들은 외우시되, 여유로우신분들은 원리를 생각하시길 바랍니다.

포물선 문제에서 항상 나오는게 최고점에 도달할 때의 높이와 시간을 구하라.  이거랑 땅에 다시 떨어질 때의 수평거리를 구하라. 이 2개입니다. 이 2개 역시 위 공식에서 추론할 수 있습니다. 

최고점에 도달할 때는 y성분의 속도는 0입니다. 따라서, v_y를 0으로 놓고 t를 구할 수 있을 것입니다. 또는 다른 성분들을요! 그 다음 y공식에 대입하면 됩니다. 

수평성분은 계속 운동하고 있기 때문에 상관 없습니다. 단지, 최고점 높이에 도달했을 때 걸린 시간의 2배만큼 x성분의 속도에 곱해주면 그게 최대 수평거리가 됩니다.