고려대편입수학30 [벡터미적분학] 선적분의 기본정리 선적분의 기본정리는 우리가 예전에 다룬 미적분학의 기본정리와 그 맥락이 같습니다. 정의부터 한번 봅시다. 증명은 의외로 미적분학의 기본정리할 때보다 간단하고 쉽습니다. 다변수함수에서 배운 연쇄법칙(체인룰)을 사용하는게 포인트입니다. 2019. 10. 30. [급수] 근 판정법 증명 (Root Test) 근 판정법의 정의는 다음과 같습니다. 비 판정법과 그 모습이 비슷하죠? 여러분들이 급수파트 공부할 때 비판정법까지는 책보면서 증명하실수 있으셨을텐데 근 판정법은 증명이 안나와있고 뒤에 연습문제로 실려있었습니다. 그래서 네이버 블로그에다 근 판정법 포스팅해달라는 말이 있었던 기억이 나네요. 근 판정법 증명도 비판정법과 유사합니다. 한번 보시죠. 2019. 10. 30. [벡터미적분학] 선적분 (Line Integral) 선적분은 우리가 일변수함수에서 배웠던 곡선의 길이를 이용한 적분이라 할 수 있습니다. 우리가 적분공식을 유도하는 과정은 항상 이러한 순서를 거칩니다. 1) 주어진 전체 영역 혹은 전체 길이를 잘게 쪼개서 최소한의 오차가 되도록 만든다. 2) 잘게 쪼갠 영역 혹은 길이를 이제 독립변수 * 함숫값의 곱 형태로 나타낸다. 3) 잘게 쪼갠 영역 혹은 길이들을 전부 위 곱 형태로 나타냈다면 이제 그것을 모두 더한다. 4) 모두 더한 값을 극한으로 취하면 적분 공식이 된다. 이제 보니 더 이해안가네요 ㅎㅎ; 쉽게 생각해서 우리가 구분구적법 공부할때처럼 하시면 됩니다. 단일적분이든 이중&삼중적분이든 동일한 과정을 거쳐서 공식을 유도했잖아요? 선적분도 똑같습니다. 동일해요. 다만, 선적분부터는 항상 '매개변수'라는 것.. 2019. 10. 29. [다변수함수] 클레로 정리 증명 (Clairaut's theorem) 클레로 정리 증명입니다. 교재에 나와있는 유명한 증명문제임에도 불구하고 굉장히 많은 학생분들이 틀렸던 문제입니다. 개인적으로 증명문제 나가리되면 남들과 똑같아진다고 생각되기 때문에 실수없이 푸시길 바랍니다. 연세대에서는 출제하는 계산문제는 다들 잘합니다. 증명에서 변별력 가르기 때문에 갈수록 증명문제 vs 계산문제는 거의 1:1비율로 출제될 것입니다. 클레로 정리의 정의는 다음과 같습니다. - f가 영역 D 위에서 점(a,b)를 포함하는 함수라고 하자. 이 때, 함수 f가 연속인 2계 편도함수를 가진다면 f_xy (a,b) =f_yx (a,b)를 만족한다. 이제 이를 증명해보겠습니다. 증명문제는 이해가 안되면 진짜 여러번 반복해야합니다. 스튜어트에 나온 증명을 다 알고가신다면 솔직히 수학은 반복만 하시고.. 2019. 10. 29. [다변수함수] 편도함수의 정의 (Partial derivative) 편도함수는 독립변수가 2개 이상인 다변수함수에서의 도함수를 의미합니다. 독립변수가 2개인 경우로 두고 생각해보겠습니다. 이 때, 변수 x와 y에 대응하는 종속변수 z를 나타내는 표현으로는 z=f(x,y)이 있습니다. 그렇다면 우리가 일변수함수에서 y=f(x)를 미분시키면 dy/dx=f'(x)가 됬듯이 이변수함수에서도 똑같습니다. 단지 변수가 하나가 더 늘어나서 dz/dx , dz/dy 이렇게 두개가 된 것이죠. 이를 도함수로 표현하면 다음과 같습니다. 비슷하죠? 우리는 이제 저렇게 함수 f에다가 아래첨자로 x라고 쓴 것을 'x에 대해 편미분을 했다.' 그리고 y라고 쓴 것을 'y에 대해 편미분을 했다.' 라고 말하면 됩니다. 2019. 10. 29. [급수] 비판정법 증명 (Ratio Test) & 절대수렴과 조건부수렴 비판정법은 이 뒤에 나올 멱급수를 공부할 때 유용하게 쓰이는 방법입니다. 그렇기 때문에 비판정법을 이용하여 수렴&발산을 판정하는 것보단 멱급수와 함께 사용되는 경우가 많은데요. 그래도 증명법을 알고 가도록 합시다. 절댓값 기호가 조금 이상해보이죠? 갑자기 한글 수식입력을 하면 이상한 문자가 나와서 한글 'ㅣ' 이거로 써넣었습니다 흑흑흑흑 일단, 위 비판정법에서 중요한 포인트는 절댓값입니다. 만약 절댓값을 씌우기 전에 그 수열이 수렴을 했습니다. 근데 그 수열에다 이번엔 절댓값을 씌웠습니다. 그 때도 똑같이 수렴하면 그 수열은 '절대수렴'한다고 말할 수 있습니다. 반대로, 절댓값 씌우기 전에 어떤 수열이 발산한다고 합시다. 근데 그 수열에다 절댓값을 씌우고 다시 판정해봤더니 수렴을 합니다. 이 경우를 '조.. 2019. 10. 28. 이전 1 2 3 4 5 다음
