고려대편입수학30 [급수] 교대급수 판정법 (Alternating Series Test) 증명 교대급수는 양수, 음수가 번갈아가면서 나오는 진동함수의 그래프상태를 의미합니다. 그리고 그 진동함수는 마치 용수철의 단조화운동과 같은 모습인데 '감쇠 운동' 으로 비유하면 적절할 것 같군요. 이게 무슨 말이냐구요? 결국 극한값이 존재하는 방향으로 간다. 즉, 수렴한다는 의미입니다. 이것을 교대급수 판정법이라 합니다. 정의를 한번 보겠습니다. 위 판정법에 대한 증명 역시 당연히 해드려야겠죠? 작년 기출에 적분판정법과 p급수 판정법에 대한 증명문제가 출제되었었습니다. 따라서, 올해에도 급수 파트 쪽에 증명문제가 나온다면 저는 교대급수 증명문제와 그에 따른 합의 추정문제가 세트로 나오지 않을까라는 생각도 듭니다. 급수 쪽에서 안나올 수가 없으니 증명법들 잘 익혀가시길 바랍니다. 2019. 10. 28. [급수] 극한비교판정법 (Limit Comparison Test) 증명 극한비교판정법은 이전에 포스팅했던 비교판정법이 통하지 않을 때 쓰는 방법입니다. 비교판정법의 정의를 잠깐 적어보겠습니다. 1) 두 양항수열 a,b의 부등식이 a 2019. 10. 28. [급수] 비교판정법 (Comparison Test) 증명 먼저 비교판정법의 정의부터 봅시다. 비교판정법에서는 약간의 수학적 감각이 필요합니다. 왜냐하면 문제를 풀 때, 급수 하나 띡 주고 이거 비교판정법으로 수렴인지 발산인지 판정해봐~ 이러면요. 우리는 급수 an만 알고 있지, bn은 모른단 말입니다. 이 때, bn을 우리가 적당한 녀석을 찾아서 수렴하는지 발산하는지 판정해줘야합니다. 그래서 처음에는 비교판정법을 조금 어려워 하는 분들이 있습니다. 제가 드릴 수 있는 말은 연습이 답이다라는 것 뿐이네요. 일단 증명 시작하겠습니다. 보시면 급수의 수렴성을 증명할 때, 항상 쓰이는게 단조수렴정리죠? 단조수렴정리가 포인트인데 2005년에 이 단조수렴정리를 증명하라는 문제가 출제된 적이 있었습니다. 사실 단조수렴정리는 미적분학에 나오긴 하나 해석학내용이라고 들었습니다.. 2019. 10. 28. [급수] P급수 판정법 증명 (P-series) & 조화급수 (Harmonic Series) P급수 판정법 역시 바로 작년 연세대 편입수학에서 적분판정법 증명과 함께 나온 보너스 문제였습니다. 먼저 정의부터 볼까요? P급수는 보통 분수꼴로 나오고 p는 지수로 나오는데 이 p가 1보다 크면 수렴하고 1과 같거나 작으면 발산한다는 정의입니다. 한눈에 정리하자면 다음과 같습니다. p급수 판정법은 구간을 좀 여러개로 나눠서 판단해야합니다. 일단 수렴일때 판정하는 것은 짧습니다. 한번 보도록 합시다. 수렴은 저걸로 끝납니다. 다만 이제 발산을 증명할 때, p=1인 경우, 0 2019. 10. 28. [급수] 적분판정법 (Integral Test) 증명 적분판정법과 P급수 판정법 증명은 바로 작년 (2019학년도) 연세대학교 기출에 그대로 출제되었던 문제입니다. 책에 나온 증명 그대로 외워가셨기만 해도 거저주는 그렇다고 배점이 낮은 문제도 아니였습니다. 이런거 틀리는 순간 합격은 물건너갔다고 생각하시고 단단히 보고 가시길 바랍니다. 1. 적분판정법의 정의부터 보도록 하겠습니다. 저기서 2번조건을 보면 제가 구간을 1부터 양의 무한이라고 반개구간으로 표시했는데 사실 꼭 1에서부터 시작하지 않아도 됩니다. 2에서 시작해도 되고, 3에서 시작해도 되고 무방합니다. 어차피, [1,무한)이 [2,무한) 보다 더 큰 범위를 가지니까요. 무슨말이냐면 예를 들어서 1부터 3까지는 증가하는 함수인데 이제 3부터 양의 무한까지는 감소하는 함수가 있다고 합시다. 이 때도 .. 2019. 10. 28. [급수] 발산판정법 (Divergence Test) 증명 발산판정법의 증명은 간단합니다. 발산판정법의 정의는 어떤 수열의 극한값이 0이 아니거나 존재하지 않을 때, 그 수열의 급수는 발산한다! 입니다. 근데 우리가 이 정의를 읽다보면 어디서 많이 본듯한 정의임을 알 수 있습니다. 바로, 일반항 판정법이죠. 이전에 포스팅해놨지만 다시 한번 쓰겠습니다. 일반항 판정법의 정의는 어떤 급수가 수렴할 때 그 수열의 극한값은 0이다. 였습니다. 그리고 우리는 이것이 참인 명제임을 이전시간에 증명했었습니다. 우리가 고등학교 시간때 배웠듯이 참인 명제의 대우의 참/거짓 판정은 참입니다. 따라서, 이렇게 됩니다. 어떤 급수가 수렴할 때 그 수열의 극한값은 0이다. -> 수열의 극한값이 0이 아니거나, 존재하지 않을 때, 급수는 발산한다. 대우명제죠? 따라서 발산판정법이 증명되.. 2019. 10. 28. 이전 1 2 3 4 5 다음
