연세대편입수학35 [급수] 멱급수 (Power series)& 수렴반지름 (Radius of convergence) 멱급수는 거듭제곱 급수라고도 불립니다. 형태는 다음과 같습니다. 이 멱급수와 함께 나오는 중요한 개념이 바로 수렴반지름입니다. 위 조건을 보시면 x=a에서 수렴하는 경우는 사실 당연합니다. 0이 되기 때문이죠. 그러면 사실 상 2번의 경우가 멱급수를 수렴하는 급수로 만들 유일한 경우인데요. 비판정법을 사용하게 되면 여러분도 알다시피 x에 대한 함수가 '절댓값'이 씌워져서 나오게 됩니다. 이 절댓값을 벗기면 구간이 형성되게 되는데 이 구간을 '수렴구간' 이라 부르구요. 이 구간에 대한 반경을 '수렴반지름' 혹은 수렴반경이라고 부릅니다. 그러면 수렴반지름에 관한 문제를 하나 풀어볼까요? 위 급수 역시 멱급수 형태입니다. 그렇죠? 그러면 위 급수가 수렴할 조건을 맞추려면 비판정법을 사용하여 L 2019. 10. 31. [벡터미적분학] 경로의 독립성 증명 경로의 독립이라는 말 뜻은 경로에 상관없이 선적분 값이 같음을 의미합니다. 위 정의의 의미를 먼저 생각해본 다음 증명하도록 합시다. 1) 단순 닫힌 폐곡선 엌ㅋ 제가 정의 쓰다가 중복표현써버렸네여. 단순폐곡선입니다. 수학에서 말하는 '단순'이라는 것은 시점에서 종점으로 출발하는 경로가 있다고 합시다. 이 과정 속에서 단 한번도 꼬이지 않은 것을 말합니다. 만약 '무한대'꼴의 경로라고 한다면 단순곡선은 아니죠? 중간에 만나는 (꼬인지점) 점이 존재하니까요. 2) 폐곡선이란? 폐는 닫히다라는 의미로 'O' 이러한 꼴로 시점과 종점이 같은 경우를 말합니다. 그러면 위에 단순하다라는 말과 폐곡선을 종합해서 생각해보면 정의에서 말하는 단순 폐곡선 C는 임의의 원과 같다고 보시면 됩니다. 이제 증명하겠습니다. 이번.. 2019. 10. 30. [벡터미적분학] 선적분의 기본정리 선적분의 기본정리는 우리가 예전에 다룬 미적분학의 기본정리와 그 맥락이 같습니다. 정의부터 한번 봅시다. 증명은 의외로 미적분학의 기본정리할 때보다 간단하고 쉽습니다. 다변수함수에서 배운 연쇄법칙(체인룰)을 사용하는게 포인트입니다. 2019. 10. 30. [급수] 근 판정법 증명 (Root Test) 근 판정법의 정의는 다음과 같습니다. 비 판정법과 그 모습이 비슷하죠? 여러분들이 급수파트 공부할 때 비판정법까지는 책보면서 증명하실수 있으셨을텐데 근 판정법은 증명이 안나와있고 뒤에 연습문제로 실려있었습니다. 그래서 네이버 블로그에다 근 판정법 포스팅해달라는 말이 있었던 기억이 나네요. 근 판정법 증명도 비판정법과 유사합니다. 한번 보시죠. 2019. 10. 30. [벡터미적분학] 선적분 (Line Integral) 선적분은 우리가 일변수함수에서 배웠던 곡선의 길이를 이용한 적분이라 할 수 있습니다. 우리가 적분공식을 유도하는 과정은 항상 이러한 순서를 거칩니다. 1) 주어진 전체 영역 혹은 전체 길이를 잘게 쪼개서 최소한의 오차가 되도록 만든다. 2) 잘게 쪼갠 영역 혹은 길이를 이제 독립변수 * 함숫값의 곱 형태로 나타낸다. 3) 잘게 쪼갠 영역 혹은 길이들을 전부 위 곱 형태로 나타냈다면 이제 그것을 모두 더한다. 4) 모두 더한 값을 극한으로 취하면 적분 공식이 된다. 이제 보니 더 이해안가네요 ㅎㅎ; 쉽게 생각해서 우리가 구분구적법 공부할때처럼 하시면 됩니다. 단일적분이든 이중&삼중적분이든 동일한 과정을 거쳐서 공식을 유도했잖아요? 선적분도 똑같습니다. 동일해요. 다만, 선적분부터는 항상 '매개변수'라는 것.. 2019. 10. 29. [다변수함수] 클레로 정리 증명 (Clairaut's theorem) 클레로 정리 증명입니다. 교재에 나와있는 유명한 증명문제임에도 불구하고 굉장히 많은 학생분들이 틀렸던 문제입니다. 개인적으로 증명문제 나가리되면 남들과 똑같아진다고 생각되기 때문에 실수없이 푸시길 바랍니다. 연세대에서는 출제하는 계산문제는 다들 잘합니다. 증명에서 변별력 가르기 때문에 갈수록 증명문제 vs 계산문제는 거의 1:1비율로 출제될 것입니다. 클레로 정리의 정의는 다음과 같습니다. - f가 영역 D 위에서 점(a,b)를 포함하는 함수라고 하자. 이 때, 함수 f가 연속인 2계 편도함수를 가진다면 f_xy (a,b) =f_yx (a,b)를 만족한다. 이제 이를 증명해보겠습니다. 증명문제는 이해가 안되면 진짜 여러번 반복해야합니다. 스튜어트에 나온 증명을 다 알고가신다면 솔직히 수학은 반복만 하시고.. 2019. 10. 29. 이전 1 2 3 4 5 6 다음
