연세대편입수학35 [급수] 테일러의 나머지 정리 (=테일러 부등식) Taylor's inequality 급수파트의 마지막 단원입니다. 테일러의 나머지 정리입니다. 이는 연세대학교 2016학년도 편입수학 2번에 증명문제로 출제되었었는데요. 역대 증명문제 중 가장 어려운 문제로 나온 파트였습니다. 사실 증명 자체만 묻는 문제였다면 알고만 계셨으면 쉬운 문제였습니다. 다만, 단순히 책에 나온 증명을 묻는게 아니라 '롤의 정리' ,'평균값 정리'를 사용해서 증명하라고 했었기 때문에 이 문제는 거의 백지로 낸 수험생들이 굉장히 많았습니다. 감히 예상하지만 이런 수준의 문제가 다시 나온다면 마찬가지로 그 문제를 제외하고 푸셔도 될겁니다... 만점이 100점이 아니라 생각하세요 ㅋㅋ ㅠㅠㅠ 일단 우리는 테일러 나머지정리의 일반적인 증명을 시도해봅시다. 2019. 11. 20. [급수] 매클로린 급수(Maclaurin's series)& 테일러 급수(Taylor's series) & 이항급수 (Binomial series) 두 급수는 비슷하지만 집합의 개념으로 설명하자면 매클로린 급수는 테일러 급수의 부분집합입니다. 그 이유가 매클로린 급수는 테일러 급수의 특정 경우에서의 급수이기 때문인데요. 매클로린 급수는 다음과 같은 정의를 띱니다. 함수 f의 위첨자로 쓰인 (n)은 미분의 횟수를 의미합니다. 위문제에 대한 적절한 예시를 하나 들어보겠습니다. f(x)=sinx일 경우 이 함수를 급수로 어떻게 바꾸는지 보도록 합시다. 매클로린 급수는 위에 삼각함수를 포함하여 총 7개의 경우로 나뉩니다. 물론 7개만 있다는게 아니고 가장 일반적인 경우라 할 수 있습니다. 또한, 매클로린 급수는 멱급수에서 했던 것처럼 항별적분, 항별미분이 가능하며 비 판정법을 통해 수렴반경과 수렴구간을 구하는 것도 가능합니다. 위에 제가 보여드린 sinx의.. 2019. 11. 20. [일변수함수] 코시의 평균값 정리 코시의 평균값 정리는 우리가 이전에 배웠던 평균값 정리의 좀 더 일반화된 표현입니다. 간단하게 정의만 보고 증명도 후딱 하겠습니다. 라그랑지 평균값 정리와 아이디어는 동일합니다. 혹시 기억이 안나신다면 이 블로그에서 '평균값 정리' 를 검색하시면 10월달쯤에 쓴게 뜰겁니다. 2019. 11. 13. [입실론델타] 합의 법칙 증명 & 삼각부등식 입실론델타에서 필수적으로 쓰이는 법칙이 2가지가 있습니다. 그 중 하나가 여기에 소개된 '삼각부등식' 입니다. 삼각부등식을 증명하라는 문제까지는 나오지 않을 것 같으나 입실론델타에서 '삼각부등식' 과 '산술기하 평균'은 정말 필수적으로 알아야하는 개념입니다. 최근 기출 추세를 보면 더이상 간단한 입델문제를 내진 않고 (ex. x->1로 갈 때, f(x)=x의 극한값이 1인 것을 입델로 증명하시오.) 위 문제처럼 증명하라는걸 내는 추세입니다. 2019. 11. 9. [일변수함수] 호의 길이 (Arc length) 공식 제가 네이버 블로그 운영하면서 은근히 검색유입이 높았던 파트입니다. 왜인진 모르겠네요. 일단 우리는 위 공식을 상당히 자주썼겠지만 공식이 도출되는 이유를 알아야 합니다. 눈치채신분도 있겠지만 공식에 대한 정의를 보면 상당히 익숙한 조건이 적혀있습니다. 위 공식은 평균값 정리를 이용해서 유도해내는 겁니다. 일단 그래프부터 봅시다. 이런 식으로 곡선이 주어졌다 합시다. 구간 a부터 b까지를 x에 대한 구간이라하면 이에 각각 대응하는 값은 f(a)부터 f(b)까지 일 것입니다. 이게 y에 대한 구간이라 합시다. 이 때 [a,b]를 n등분하도록 합시다. 그 다음 찬찬히 시도해보죠. 이것을 이제 잘게 쪼개서 최대한 오차가 적은 여러개의 작은 직선을 곡선에 빗대보는 겁니다. 뭐, 이렇습니다. 이게 곧 삼각형 빗변의.. 2019. 11. 4. [입실론델타] 1변수함수의 입실론델타 논법 개념설명 * 해석학 수준이 아닌 미적분학 수준에서 내는 입델 문제 위주로 다룹니다. 연세대 편입수학 1번문제는 항상 입실론델타로 나올만큼 고정문제입니다. 그렇기 때문에 합격을 생각하고 있다면 사실 입델을 절대 포기해선 안됩니다. 지금부터 쓰는 입델 시리즈를 잘 보고 기계처럼 푸시길 바랍니다. 어차피 편수에 나오는 입델은 기계처럼 푸는법만 알아도 됩니다. 수학과 학생이라면 절대 그래선 안되지만요. ▶ 입실론 델타 - 우리가 고등학교 시간때 배우는 '함수의 극한' , '함수의 연속'은 정의가 이러했습니다. 다만 이것은 대학수학을 배우게되면 애매한 표현이라고 교수님들이 언급하시긴 합니다. 가까이 다가간다라는 말 때문인데 x와 a의 거리가 얼마나 가까워야 위 극한을 정의할 수 있을지 보다 '객관적인 지표'가 필요했다 이.. 2019. 11. 1. 이전 1 2 3 4 5 6 다음
