[전자기학] 라플라시안 (Laplacian)과 푸아송 방정식 (Poisson Equation)

지금부터는 전자기학 3단원내용입니다.

 

먼저 소개해드릴 내용은 라플라시안과 푸아송 방정식인데요. 이를 알기 위해서는

 

먼저 이들을 소개하려면 가우스 법칙 (맥스웰 방정식 1단계)을 먼저 익혀야 합니다.

 

물론 가우스 법칙정도는 이제 웬만큼 깨우치셨을테니  간단히 적분형 가우스 법칙에서 미분형 가우스 법칙으로 유도되는 과정만 함께 적도록 할게요.

 

 

 

이거를 미분형태로 표현하자는 것인데요. 저 인테그랄 기호가 폐곡면임을 의미하는 것이거든요? dA에 대한 미분이니까요. 그러면 발산 정리에 의해 E dA를

델E와 dV의 곱으로 바꿔줄 수가 있습니다. 그러면 아래처럼 표현이 됩니다.

양변에 dV에 대한 적분이니까, 이를 생략해주면 델E는 부피전하밀도/입실론제로가 될 것 입니다.

 

이게 이제 전기장에서의 가우스 법칙을 미분형태로 표현한 것인데요. 여기서 한 단계

더 나아가면 라플라시안과 푸아송 방정식이 됩니다. 

 

우리는 전기장과 전위의 관계도 앞서 배웠었습니다. 전위의 그래디언트값에 음수를 붙이면 그게 전기장이 되었었는데요. 그러면 이렇게 표현이 됩니다.

 

자, 이것의 의미가 뭔지 설명해드리겠습니다. 우리가 고등학생 때 수학을 공부하면

이러한 3차 함수 그래프를 두고, 1계미분과 2계미분에 대해 본 적이 있을거에요.

주어진 함수에서 1계미분을 했을 때, 0인 지점은 이제 극값이 되는 것이고, 2계미분을 했을 때, 양수인지 음수인지 판단하에 따라  위로 볼록, 아래로 오목 이라는 개념을 배웠을 것입니다. 이를 통해 기울기의 특징을 배웠을텐데요.  전기장에서 같은 역할을 하는게 라플라시안과 푸아송 방정식입니다.

 

라플라시안은 전하 밀도가 0인 상태를 의미하구요. 푸아송 방정식을 통해 퍼텐셜이 주변에 비해 어떠한 상태인지 알려주는 척도가 될 것입니다.

 

보통 전자기학에서는 푸아송 방정식보다 라플라시안을 주로 쓰는 편입니다. 우변이 0이라 더 쉽거든요. 그러면 라플라시안의 1차원,2차원,3차원 꼴을 한번 보도록 하겠습니다.

 

티스토리 블로그 스킨편집을 한 이후 수식편집기가 잘 안먹어서 수식입력이 안되네요. 일단 스킵해두고 추후에 설명드리겠습니다.

 

* Tip. 라플라시안은 좌표계에 따라 달라질 수 있다는 것을 아셔야 합니다.

이런식으로 표현이 됩니다.