[일변수함수] 호의 길이 (Arc length) 공식

제가 네이버 블로그 운영하면서 은근히 검색유입이 높았던 파트입니다. 왜인진 모르겠네요.  일단 우리는 위 공식을 

상당히 자주썼겠지만 공식이 도출되는 이유를 알아야 합니다. 

 

눈치채신분도 있겠지만 공식에 대한 정의를 보면 상당히 익숙한 조건이 적혀있습니다. 위 공식은 평균값 정리를 이용해서 유도해내는 겁니다. 일단 그래프부터 봅시다.

이런 식으로 곡선이 주어졌다 합시다. 구간 a부터 b까지를 x에 대한 구간이라하면 이에 각각 대응하는 값은

f(a)부터 f(b)까지 일 것입니다. 이게 y에 대한 구간이라 합시다. 이 때 [a,b]를 n등분하도록 합시다. 그 다음 찬찬히 시도해보죠. 이것을 이제 잘게 쪼개서 최대한 오차가 적은 여러개의 작은 직선을 곡선에 빗대보는 겁니다.

뭐, 이렇습니다. 이게 곧 삼각형 빗변의 공식과 같죠? i가 1부터 시작해서 n까지 끝난다고 하면  이들을 모두 더하고, 그것을 n이 무한으로 갈 때의 극한값을 취해주면 우리가 항상 해오던 적분 유도 절차를 착실히 수행한 것이죠.

 

근데 봅시다. 정의가 맞다면 우리는 평균값 정리를 시행할 수 있어요. 바로 이것.

이런식으로 나오게 됩니다. 이해 잘가시죠?? 이번 포스팅은 여기까지로 하겠습니다.