[벡터미적분학] 선적분 (Line Integral)

선적분은 우리가 일변수함수에서 배웠던 곡선의 길이를 이용한 적분이라 할 수 있습니다. 우리가 적분공식을 유도하는 과정은 항상 이러한 순서를 거칩니다.

 

1) 주어진 전체 영역 혹은 전체 길이를 잘게 쪼개서 최소한의 오차가 되도록 만든다.

2) 잘게 쪼갠 영역 혹은 길이를 이제 독립변수 * 함숫값의 곱 형태로 나타낸다.

3) 잘게 쪼갠 영역 혹은 길이들을 전부 위 곱 형태로 나타냈다면 이제 그것을 모두 더한다.

4) 모두 더한 값을 극한으로 취하면 적분 공식이 된다. 

 

이제 보니 더 이해안가네요 ㅎㅎ; 쉽게 생각해서 우리가 구분구적법 공부할때처럼 하시면 됩니다. 단일적분이든 이중&삼중적분이든 동일한 과정을 거쳐서 공식을 유도했잖아요? 선적분도 똑같습니다. 동일해요. 다만, 선적분부터는 항상

'매개변수'라는 것을 고려해야해서 귀찮을 뿐입니다. 

 

선적분은 기다란 곡선을 적분시켰을 때 얻는 값을 말하며 스칼라장 선적분과 벡터장 선적분으로 나뉩니다. 이게 곧 물리에서 의미하는 '일' 이 되는데요. 일은 아시다시피 힘에다가 거리를 곱하면 그게 일이 잖습니까? 수학에서 말하는 힘은 우리가 선적분시켜야할 함수를 의미합니다.  그러면 거리는? 바로 dx, dy같은 미분소들을 의미합니다. 선적분에서는 dt같이 시간에 대한 매개변수소를 의미하죠. 그러면 공식을 한번 봅시다.

스칼라 선적분은 솔직히 연고대에서는 안나올겁니다. 저건 편입수학 내용이고  연고대에서는 벡터장에서 증명문제 위주로 내거나 그럴거에요.  아무튼 스칼라 선적분에서 뒤에 루트로 표기된 것 보시면 꽤 익숙한 그림 아닌가 싶죠?

 

호의 길이를 매개변수와 시켜서 나타낸 것입니다.  그리고 벡터장 선적분에서 r(t)는 벡터함수를 의미합니다. 

벡터함수는 뭐 어렴풋이 알고 벡터미적분학 푸시는분들이 있을텐데  이 단원이 다 끝나면, 그러니까 발산정리까지 포스팅 마치고 나서  조금씩 쓰겠습니다.