[전자기학] Maxwell Equation (맥스웰 방정식) First Step : 가우스 법칙 (gauss's law) / 중첩의 원리 (Superposition Principle) 를 이용한 연속적인 전하에서의 전기장

위 법칙을 설명하기 전에 먼저, 쿨롱법칙과 전기장에 대해 간단히 복습만 해보겠습니다.

▶ 쿨롱 법칙

위와 같은 식을 가집니다. Q는 원천 전하 (source charge) q는 시험 전하 (Test charge) 입니다. 저기 1/ (4파이 입실론제로)는 쿨롱상수 값과 같고 8.99*10^9 Nm^2/C^2 의 값을 가집니다. 

 

서로 이끄는 힘 혹은 밀어내는 힘을 가지고 있으며, 이를 두 점전하 사이에서의 인력과 척력이라고 부릅니다. 

 

▶ 전기장과 전기력의 관계

- 전기장은 시험 전하가 없는 상태입니다. 즉, 원천 전하 혼자서 자신의 영향력을 과시하고 있는 상태라고 생각하시면 됩니다. 이러한 전기장 내에 '새로운 점전하(시험 전하)' 가 들어오게되면 두 전하 사이에서는 이제 척력이 발생하거나 인력이 발생하게 됩니다. 

 

< F=qE 라는 공식을 얻게 되겠군요! >

 

▶ 맥스웰 방정식 첫번째 단계 [가우스 법칙]

위 공식 많이들 기억나시죠? 오른쪽은 좀 생소할 수도 있습니다. 

다시 한번 되짚어보는 시간을 가져봅시다. 우리는 위에서 점전하에 대한 공식으로 쿨롱법칙을 보고 왔습니다. 근데 전하가 어떠한 공간 내에서 연속적으로 분포하고 있다고 한다면 어떻게  전기장 값을 구해낼 수 있을까요? 

바로 중첩의 원리를 적용하면 됩니다. (Superposition Principle)

구 표면에서의 전기장

도체가 구라고 가정하겠습니다. 이 구의 표면 중 하나를 잘라내어 그것을 '미소면적' 이라 부르고 dE만큼의 전기장 값을 가진다고 하겠습니다. 그러면 우리는 이러한 공식을 얻을 수 있습니다. 

전체 전기장 값을 구하려면 저렇게 구해낸 미소전기장 값을 모두 하나하나씩 구해서 다 더해야합니다. 그게 중첩의 원리인데요. 점전하 상태라면 그게 가능하겠지만, 저렇게 연속적인 전하분포인 상태에서는  그게 힘듭니다. 따라서, 적분을 사용할 거에요. 

 

여기서 잠깐. 우리는 주목해야할 것이 하나 있습니다. 바로 '미소면적' 인데요. 연속적인 전하 분포 상에서는 미소 전하량에 각각 대응되는 값이 있습니다. 지금은 미소면적이므로 아래 중에서 2번에 해당하겠습니다.

그러면 다시 돌아와서, 위에 미소전기장을 중첩의 원리를 이용하여 구해보도록 합시다.

 이게 구 표면에서의 전기장 값이 됩니다. 

 

자, 다음으로 그래디언트 표현법을 보겠습니다. 이 그래디언트 표현법이라는 것을 사실 발산정리에서 기인했습니다. 벡터미적분학에 이 내용을 적었어야 했는데  아직 적지 못했네요 ㅠㅠ

 

▶ 발산 정리 (Divergence Theorem)

- 유계된 영역이 매끄럽고 부드러운 곡선에 의해 폐곡면인 상태라면, 면적을 통과하는 전기선속, 자기선속의 유량(Flux)은 다음과 같은 공식을 통해 구할 수 있습니다.