[고체물리&재료과학] 큐빅에서의 BCC구조, FCC구조와 밀러 지수 (Miller Index)

▶ Cubic Cell에서의 구조

	Simple	BCC	FCC
Lattice Point	1	2	4
배위수	6	8	12
거리	a	4R/루트3	(2루트2)*R
충진율	0.52	0.68	0.74

자, 일단 표 먼저 보여드렸습니다. 하나하나 씩 보도록 합시다. 

Cubic Cell's various Structure

1) Simple Cubic

- Lattice Point란 격자점을 의미하기도 하지만, 여기서는 원자 개수라고 생각하세요.

(필기노트가 오류인건지 아니면 원래 Lattice Point라고도 하는지는 모르겠네요.)

Simple Cubic을 보면 Lattice Point(원자)가 하나죠? 왜 그럴까요?  여기서 원자의 모형은 '구'라고 가정하겠습니다. 이 구를 8등분시켜서 Simple Cubic의 각각 꼭짓점에 박아두면 위 그림과 같은 모습이 됩니다. 즉, 원래는 하나의 원자였다는 것이죠. 

 

그래서 Lattice Point는 1로 잡혔습니다.  

 

- 배위수가 뭔가요?

배위수는 양이온(혹은 음이온) 주위를 둘러싸고 있는 음이온(혹은 양이온) 개수를 의미합니다. 상대적으로 중요한 내용은 아니니 위 배위수 개수만 알아두셔도 됩니다. 

 

- 거리는 왜 a인가요? 

여기서 거리는 단위격자의 한변의 길이를 의미합니다. 

 

- 충진율이 뭔가요?

주어진 단위격자(unit cell)에서 원자가 차지하는 부피의 백분율을 의미합니다. 위에 그림을 보시면 알겠지만 심플큐빅이 제일 낮죠? 충진율 공식은 다음과 같습니다.

[원자의 개수]*[원자의 부피] / [단위격자의 부피]  

 

2) Body Cubic Cell (BCC)

- 얘는 한글로 '체심입방정계' 라고 부릅니다. Simple Cubic에서 가장 중앙에 원자 하나 더 박혀있습니다. 그래서 Lattice Point는 2로 나왔습니다.

 

- 배위수는 8로 늘어났습니다.

 

- 거리는 갑자기 늘어났죠? 이걸 한번 증명해보도록 합시다. 

BCC구조의 단위격자 길이

원자 구 하나가 가지는 반지름을 r이라고 합시다. 그러면 위 그림에서 보시는 바와 같이 Unit Cell의 대각선 길이는 4r이라고 표현할 수 있습니다. 이는 Unit Cell 한변의 길이가 a일 때, 3a^2에 루트를 씌운 값이 4r과 같다는 것을 알 수 있습니다.  그래서 a에 대한 식으로 바꾸면 맨 위에 표에 적은 값이 나오게 되는 것입니다. 

 

- 충진율은 심플큐빅보단 높네요. 원자의 개수가 2개고.. 반지름 r에 대한 식으로 통일해서  충진율 공식에 대입하면 0.68이라고 나올 것입니다.

 

- BCC구조에 해당하는 애들은 뭐가있을까요?

A. 알칼리 금속, 자성체(Cr, Fe) , 전이금속 (Nb,V,Ta,Mo,W)

 

3) Face Cubic Cell (FCC)

- 한글로 '면심입방정계'라고 부릅니다. BCC와 달리 중심에 원자가 박혀있는 상태는 아닙니다. 그러나, 각 면의 중심에 하나하나씩 박혀있어서 총 4개의 원자 개수를 가집니다. 

 

- 배위수는 12구요.

 

- 거리 한번 구해볼까요?

FCC 구조

얘는 한면이 가지는 대각선 길이가 4R임을 알 수 있습니다. 그러면 한변의 길이는 BCC보다 비교적 쉽게 구할 수 있네요. (2루트2)R가 단위격자 한변의 길이가 됩니다. 이를 가지고 충진율도 쉽게 구할 수 있을테구요.

 

- FCC구조를 가지는 애들은 뭐가 있을까요?

A. 귀금속류 Cu, Ag, Au /  전이금속 (Ni,Pd,Pt) / 비활성 기체들 

 

▶ 밀러 지수 (Miller Index)

밀러 지수는 선 밀러지수와 면 밀러지수로 나뉩니다.  밀러지수는 방향을 간단하게 표기하는 일종의 기호로 사용됩니다. 

 

먼저 선 밀러지수입니다. 

선 밀러지수의 예시

1번째 그림을 보면 x축 위에 존재하는 격자점을 [100]이라고 표현했습니다. 이 의미를 살펴봅시다. 

선 밀러지수는 먼저 '[  ]' 대괄호를 사용합니다. 그리고 대괄호 안에다가 차례로 [x y z] 의 방향을 기입합니다. 1번째 그림에서는 x축말고는 다 0이기 때문에 [100]이 되었네요! 

 

위 그림에서는 안나왔으나, 음수인 경우에는 숫자위에 '바' 형태로 표시합니다. 숫자 위에 '－' 를 씌어준다는 것이죠. 

별로 어려울 것 없죠? 좀 더 살펴보도록 합시다. 

 

이번에는 면 밀러지수입니다. 

면 밀러 지수의 예시

위에 그림에서 파란색을 볼까요? 일단 면 밀러지수는 선 밀러지수와 달리 소괄호 표시인 '(   )'을 사용합니다. 

그리고 위 그림을 보면 되게 복잡해보이고 그러죠? 차근차근 보겠습니다. 먼저 모든 면 밀러지수는  다음과 같은 절차를 따릅니다. 

 

1) 각각의 Lattice Vector의 계수를 적습니다. 공간좌표 상에서 (1,2,3)이라는 위치에 있다면 (123)이렇게 적을 수 있겠죠? 

 

2) 구해준 계수의 역수를 취해줍니다. 

 

3) 아니 근데, 이놈의 밀러지수는 변덕쟁이라서 분수 꼴로 나오는 것은 싫다고 합니다. 그래서 그냥 차라리 분모의 최소공배수를 곱해주는 것으로 다시 바꿨습니다.

 

4) 그렇다면 위의 경우는 (1/1 , 1/2 , 1/3)상태에서 최소공배수 6을 가지므로  (632)가 되겠군요. 이게 밀러 지수의 표현법이 되겠습니다. 

 

 

Q. 그러면 선 밀러지수와 면 밀러지수의 상관관계가 있나요?

A. 예. 선 밀러지수에 수직한 면이 곧 면 밀러지수가 됩니다.