[고전역학] 뉴턴의 운동 법칙 응용 (2) (도르래와 경사면)

뉴턴의 운동 법칙 응용 법칙은 사실 간단해보이지만 나름 난이도를 높일 수 있는 문제 중 하나라고 생각됩니다.

먼저 도르래 문제부터 봅시다.

장력 [도르래] 

위 문제를 봅시다. 도르래문제에서 가장 많이 착각하는 것이 추에 대한 장력과 손으로 잡아당기는 장력이 서로 다른  것인가? 입니다. 결론은 같습니다. 이것만 꼭 기억하십쇼. 

"실이 여러개가 아닌 하나라면 그 실에 작용하는 모든 장력은 동일한 크기를 갖는다."

 

만약 저기서 손이 아니라 다른 물체가 매달려있다고 합시다. 그 물체를 m2라 하구요. 기존의 추를 m1이라 합시다.

우리는 이제 이 때의 가속도와 장력을 구해보도록 할 겁니다. 

 

아, 위에서 하나 더. 장력뿐만 아니라 도르래에서는 가속도의 크기도 동일합니다. 그니까, 손으로 잡아당기면 추가 올라가게 되죠? 그 때 손으로 내린만큼의 가속도랑 추가 올라가는 가속도랑 둘이 크기는 똑같다 이겁니다. 심지어 부호도 같아요. 결국에는 하나의 실이니까요. 그러면 이제 분석을 해봅시다. 만약 손이 아닌 물체 m2로 대체했을 때, m2가 아래로 내려가는 운동을 한다고 합시다.

이 때, m1을 분석해봅시다.  일단, m1은 y축운동만 하기 때문에 이것만 고려하면 됩니다. 왼쪽,오른쪽으로 운동하진 않으니까요. 그렇죠?

 

m1 -> T-m1g=m1a 입니다. 

 

이번엔 m2를 봅시다. m2에서는 반대로 장력보다 물체의 무게가 가지는 크기가 더 크기 때문에 아래로 내려갑니다. 그래서  m2g-T=m2a가 됩니다.  이것을 가속도&장력에 대한 식으로 나타내면 다음과 같습니다.

다 알려드렸으니 충분히 마무리 지으실 수 있을겁니다.  자, 이번에는 경사면일 경우를 봅시다.

여기서 등장하는 개념이 '수직항력' 입니다. 수직항력이란 지표면의 법선방향으로 저항하는 힘을 말합니다. 

만약 저 경사면의 끝부분에 실이 달려있고 그 실이 물체 m을 지탱하고 있다고 합시다. 그리고 그 때 힘의 평형을 이룬다고 합시다.  그러면 T=mgsinΘ 이라고 말할 수 있겠습니다. 위 그림에서 보시는 바와 같이 수직항력과 그에 대응하는 mgcos세타는 합력이 0이구요. 

 

만약 힘의 평형을 이루는 상태가 아니라 경사면 아래로 슬금슬금 상자가 이동하고 있다고 합시다. 그 때는 아래로 내려가기 때문에 가속도가 발생하게 됩니다. 별거 없습니다. mgsinΘ 가 ma와 같다는 말이 되니까요.  따라서 가속도는 gsinΘ입니다.

 

* 고전역학 오랜만에 쓰다보니까 경사면은 예전에 포스팅했던거 까먹고 다시 썼네요 ㅠㅠㅠ 죄송합니당.

그래도 복습하는 느낌으로 다시 보세요 ㅎㅎ

 

하나만 더 봅시다. 보통 장력 유형 문제는 꽤 정형화되있는 편인데 이거도 자주 나옵니다.

이러한 유형입니다. 여기서 m1이 아래로 내려가고 있는 경우라고 가정하고  장력과 가속도를 구해보도록 합시다.

제가 말씀드렸다시피 도르래문제에서는 전부 하나의 실로 연결되어있기 때문에 장력은 동일합니다. 가속도 역시 동일하죠.  F=ma가 결국엔 벡터량을 포함하고 있기 때문에 우리는 방향을 나눠서 생각하는 것을 당연히 여겨야 합니다.

 

m2부터 봅시다. m1이 내려간다는 것은 m2 역시 끌려가고 있다는 말입니다. x축 운동만 고려하면 되겠습니다. 

T=m2a 겠네요. 

 

그다음 m1을 봅시다. 얘는 고려해줘야 할 것이 이겁니다. 장력과 무게. m1g-T=m1a 라는 것이죠. 

자, 그러면 이렇게 나타낼 수 있네요. 

그러면 장력은 뭔가요? 저기에 m2만 곱해주면 끝입니다.  F=ma이니까요.