[고체물리&재료과학] 역격자 (Reciprocal Lattice)와 3차원 공간 G벡터를 이용한 회절 조건에 대한 복습 (feat. 오일러 방정식 / 푸리에 변환)

전 시간에서 1차원적으로 간단하게 대략적인 라우에 이론에 대해 설명했었습니다.  

이제 위 식을 봅시다. 입사파가 시료와 만나면 산란진폭 형태로 반사가 일어납니다. (탄성 산란이라 가정합니다.)

우리는 지금까지 시료의 미소면적인 dV에 대해서만 다뤘는데 이제 이걸 전체적인 부분으로 확장시키고자 합니다. 

 

그 전에 우리는 위 전자기파가 주기함수의 성질을 가진다는 것을 파악해야 합니다.  주기함수라 함은 주어진 구간 내에서 각각 대응하는 값들이 일종의 싸이클을 가지며 반복한다는 것인데요. 대표적인게 삼각함수입니다.  근데 우리는 전자기파를 표현할 때 삼각함수를 쓰기 때문에  당연히 주기함수가 되겠죠? 

 

주기함수임은 우리가 시료 내의 격자에서 병진 이동이 일어나도 전자기파의 운동량(=파수벡터)에는 영향을 주지 않음을 의미합니다. 따라서, 다음의 원리를 먼저 간단히 증명하고자 합니다. 

자, 시료에 X선을 쬐면요. 이 입사파가 우리 눈에는 보이지 않지만 파동을 그리며 진행을 합니다.

브래그 법칙

저 시료들을 우리가 간단하게 결정질형태로 수많은 Lattice point들로 이루어졌다고 하구요. 이들은 수많은 unit cell들로 그려낼 수 있습니다. 그 중, 딱 하나의 unit cell (dV)를 보자구요. 이 unit cell에 해당하는 벡터는 a_1 / a_2 / a_3이라고 합시다. 위 벡터성분은 뭐 격자점으로부터 x축으로 1만큼 , y축으로 1만큼, z축으로 1만큼 이동한 애겠죠?

원점으로부터 dV까지의 위치벡터를 우리는 u_1 , u_2, u_3 이라고 합시다.  이 두 벡터를 내적한 값을 T벡터로 합니다.

그러면 우리는 이제

여기서 T벡터가 뭔지 파악했습니다. 아니 그러면 원시적인 병진 이동은 기존의 n(r)과 동일합니다. (전자 밀도 수)

이를 잠시 1차원적으로 표현합시다. 위 벡터는 x축으로 이동하고 있다고 합시다. 그리고 파동함수이므로  우리는 푸리에변환을 통해 시간에 대한 함수를  주기 함수로 바꿔줄 수 있습니다. 아래와 같이 나오게 되죠 그러면!

이렇게 쓸 수 있습니다. (아, 저기서 각각의 (2파이p/a)뒤에 x를 곱해줘야하는데 깜빡했네요. 이거 염두해주세용)

자, 그러면 여기서 우리는 2파이p/a 라는 '푸리에 공간'을 얻게 됩니다. p값이 유일한 것이 아니고 모든 정수가 될 수 있기 때문입니다. (주기 a동안 파동의 표현을 나타내기 때문입니다.)  그러면 이 공간을 이제 3차원으로 확장시키도록 합시다.  푸리에 공간이라고 칭한 것은 이제 3차원 벡터로 표현해야하기 때문에 적당히 우리가 G벡터라고 부르기로 합시다.

n_G는 3차원 공간 상에서의 푸리에계수입니다. n(r)은 전자 밀도 수를 의미하구요. 뒤에 익스퍼넨셜 항은 산란파의 진폭을 의미합니다. 즉, 산란파의 진폭과 전자 밀도 수는 비례한다는 것을 알 수 있죠. 방정식으로 표현하기 위해 적당한 푸리에 계수를 넣어준 것이구요. 근데 여러분도 아시다시피, 우리가 XRD를 통해서 시료 내부가 어떤 구조를 띠는지 간접적으로 유추하는 것입니다. 따라서, 회절파가 스크린에 그려질 시, 그 스크린에서 보여지는 패턴에 대한 격자를 새로 정의해야합니다. 이게 역격자인데요. 그렇기 때문에 우리는 이제 G벡터를 위에서 T벡터를 두 벡터 간의 내적으로 표현한 것처럼 G벡터도 두 벡터 간의 내적으로 표현하고자 합니다.

 

간단합니다. dV에서 Detector까지의 위치벡터와 역격자 unit cell의 벡터성분들의 내적으로 표현하면 됩니다.

이렇게 됩니다. 근데, 이게 그냥 뚝딱 정의할 수 있는 것은 아닙니다.  이 푸리에 공간에서의 G벡터를 표현하기 위해서는 G벡터의 기저가  원시 벡터 격자들과 직교해야할 조건이 필요합니다. 따라서, 이렇게 정의 내릴 수 있습니다.

나머지 b2, b3도 똑같습니다. 분모는 Volumn이구요. b2의 경우는 분자가 a1과 a3의 외적  b3는 a1,a2의 외적.

이런식으로 정의 내릴 수 있다 이겁니다.