▶라우에 이론
- 회절 현상을 통해 시료 내부의 구조를 파악하고자 함.
먼저 간단히 개괄적인 면부터 천천히 시작해보고자 합니다.
자, 시료를 향해 다가오는 굵은 화살표가 있죠? 저게 Incident beam(입사파)입니다. 입사파에 의해서 Scarttering된 수많은 반사파들은 각각의 시료 내부의 미소부피인 dV들에 의해 각각 다른 회절각도를 가져 저렇게 나오게 됩니다.
우리는 지금부터 입사파의 출발점으로부터 시료 내부의 임의의 한 개의 dV까지의 거리를 k벡터라고 하겠습니다.
그리고 dV로부터 빠져나온 반사파까지의 거리를 k'벡터라고 하겠습니다. 또한 원점에서부터 dV의 중심점까지의 거리를 r벡터라고 하겠습니다.
여기서 말하는 원점은 시료 내부에 존재할 수도 있고, 시료 밖에 존재할 수도 있습니다. 원점이라 함은 그냥 우리가 아는 공간좌표 상에서 존재하는 원점이고, 우리가 임의로 저 시료는 공간좌표 상에 어디어디 쯤에 존재한다~ 라고 볼 수 있겠습니다.
dV의 경우는 Charge Density의 크기에 비례하게 됩니다.
반사파가 빠져나와서 저렇게 스크린에 이쁜 패턴을 그리게 되었죠? 저러한 패턴을 Detector라고 합니다. X-ray 촬영을 하면 우리 신체를 지탱하는 뼈가 보이죠? 그 뼈가 일종의 X-RAY를 통한 Detector가 됩니다.
▶수학적인 증명의 시작
- 이제 입사파를 수학적으로 표현해봅시다.
E_i는 입사파를 의미합니다. E_o 뭐 원시 광원이라고 보시면 되겠구요. 문제는 뒤에 딸린 괴상한 식들입니다.
전자기파는 여러분들이 아시겠지만 전기장과 자기장이 서로 수직한 상태로 상호작용하여 진행하는 횡파인데요.
우리는 전자기파를 선형적으로 표현하기 위해서 삼각함수를 사용합니다.
근데 위 공식엔 삼각함수가 안보이죠? 너무 길어서 오일러 방정식을 이용하여 위에서 처럼 표현한 것입니다.
이런식으로 표현했죠. 그렇다면 위에 k벡터와 r벡터 wt 등등은 결국 'phase of wave (위상)'을 의미한다는 것을 알 수 있습니다. 그러면 성분들을 파헤쳐 봅시다.
k벡터 : 광원으로부터의 입사파를 표현한 벡터
r벡터 : 원점으로부터 시료 dV의 위치를 표현한 벡터
wt : 위상차
여기서 k벡터와 r벡터는 벡터내적 형태로 표현되어있습니다. 이는 '경로 차'와 관련를 의미합니다. A벡터와 B벡터의 내적은 ABcos세타랑 같죠? 여기서 k벡터를 A라고 생각합시다. 그리고 r벡터를 B라고 생각합시다. 그러면 입사파가 시료에 닿게 될 때, 각각의 layer에 닿는 입사파의 경우! 위상이 달라지면 상쇄간섭이 일어나기 때문에 이 경로차를 파악해야하는 것이 상당히 중요합니다.
이해가시죠? 저기 빨간선이 경로차를 의미합니다. 저 경로차를 가지고 이제 이렇게 표현해보도록 합시다.
이렇게 됩니다. 마찬가지로 회절된 파수벡터 k'도 똑같이 표현이 가능합니다. 그러면 우리는
e의 지수로 i(k벡터-k'벡터)와 r벡터의 내적형태로 표현이 가능하고 k벡터와 k'벡터의 차를 델타k로 표현할 수 있습니다.
그리고 k벡터와 k'벡터 사이는 둔각이므로 음수로 표현하면 다음과 같이 됩니다.
자 이게 이제 선형적으로 (1차원적으로) 표현한 것입니다. 이제 이걸 3차원적으로 표현하고자 합니다. 이는 바로 다음 포스팅에서 시작하겠습니다.